Differentialgleichung

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18.12.2013, 15:16	herrmy	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung Hi, ich habe ein kleines Problem mit der folgenden Differentialgleichung: $\begin{eqnarray} <br /> y'=\frac{y^2}{5x} <br /> \end{eqnarray}$ habe Die umgestellt und intigriert: $\begin{eqnarray} <br /> \int \! \frac{1}{y^2}dy = \int \! \frac{1}{5x}dx \\<br /> \int \! y^{-2}dy = \frac{1}{5}ln\|x\| + c \\<br /> -\frac{1}{y} =\frac{1}{5}ln\|x\| + c\\<br /> \end{eqnarray}$ Wie komme ich jetzt an das y?
18.12.2013, 15:20	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du kannst jetzt auf beiden Seiten den Kehrwert nehmen und danach die Gleichung mit (-1) multiplizieren. Auf der linken Seite steht dann das y. Grüße.
18.12.2013, 15:23	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung indem Du beide Seiten mit y multiplzierst und dann durch den gesamten Ausdruck mit 1/5 ln \|x\| +c dividierst. EDIT: zu langsam
18.12.2013, 15:40	herrmy	Auf diesen Beitrag antworten »
Also $\begin{eqnarray} <br /> y= -\frac{1}{\frac{1}{5} ln\|x\|+c } <br /> \end{eqnarray}$ so?
18.12.2013, 15:49	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Wenn man will, kann man für c auch $\begin{eqnarray} \frac{1}{5}c_1 \end{eqnarray}$ schreiben. Es folgt: $\begin{eqnarray} y= -\frac{1}{\frac{1}{5} ln\|x\|+c }=-\frac{1}{\frac{1}{5} ln\|x\|+\frac{1}{5}c_1 }=-\frac{5}{ ln\|x\|+c_1 } \end{eqnarray}$ Das ist aber nur eine Spielerei. Beide Darstellungen sind Lösungen der Differentialgleichung.
31.12.2013, 15:05	herrmy	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schonmal für die Antworten, jetzt habe ich noch ein Problem bei der Probe. ich setzte einfach in y', y ein und dann sollte sich ja alles wegkürzen oder sehe ich das falsch? $\begin{eqnarray} <br /> y'= \frac{(\frac{-5}{ln\|x\|+C1 })^2 }{5x} <br /> <br /> y'= \frac{(\frac{5}{C1}-\frac{5}{ln\|x\| } )^2 }{5x} <br /> <br /> \end{eqnarray}$ Jetzt habe ich einfach C1 weggelassen $\begin{eqnarray} <br /> y'=\frac{\frac{25}{ln\|x\| } }{5x} <br /> <br /> \end{eqnarray}$ und jetzt komme ich nicht weiter...
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31.12.2013, 16:05	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie du auf die zweite Zeile kommst erschließt sich mir nicht direkt. Bei der dritten Zeile bin ich wieder dabei. Hier hast du vergessen ln\|x\| zu quadrieren: $\begin{eqnarray} \large{\text{$y'=\frac{\frac{25}{ln^2\|x\| } }{5x}$}} \end{eqnarray}$ Diesen Bruch kann man jetzt auch so schreiben: $\begin{eqnarray} y'=\frac{25}{5x \cdot ln^2\|x\|} \end{eqnarray}$ Jetzt kannst du noch ein bisschen kürzen. Dann hast du auch die Ableitung von $\begin{eqnarray} y=-\frac{5}{ ln\|x\|} \end{eqnarray}$ dastehen.
04.01.2014, 13:50	herrmy	Auf diesen Beitrag antworten »
ich weiß irgendwie nicht wie du durch kürzen auf das Ergebnis kommst... Und habe ich dann mit y=... die probe gemacht, weil ich dachte es müsste sich alles wegkürzen??
04.01.2014, 13:55	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß echt nicht genau was du gemacht hast. Wäre schön, wenn du mal zeigst was du gemacht hast.
04.01.2014, 19:34	herrmy	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich komme bis $\begin{eqnarray} y'=\frac{5}{x \cdot ln^2\|x\|} \end{eqnarray}$ jetzt soll sich ja theoretisch alles wegkürzen und die DGL ist richtig oder sehe ich das falsch? Ich komme jetzt halt nicht weiter mit dem kürzen... Ich weiß halt nicht wie ich weiter machen soll...
04.01.2014, 19:56	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Mehr kürzen geht nicht. Du hast dein y' gefunden. Jetzt hatte ich nur geschrieben, dass die Ableitung von $\begin{eqnarray} y=-\frac{5}{ ln\|x\|} \end{eqnarray}$ deinem obigen Ergebnis entsprechen sollte. Nochmal konkret: y(x) ableiten.
05.01.2014, 16:05	herrmy	Auf diesen Beitrag antworten »
So ich habe nochmal alles gegeben Als erstes die DGL gelöst: $\begin{eqnarray} <br /> y'=\frac{y^2}{5x} <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=-\frac{5}{ ln\|x\|} \end{eqnarray}$ Jetzt mache ich die Ableitung von y: $\begin{eqnarray} <br /> y'=\frac{5}{x(ln(x))^2} <br /> \end{eqnarray}$ Nun setze y und y' in die DGL ein: $\begin{eqnarray} <br /> y'=\frac{y^2}{5x} <br /> \Rightarrow \frac{y^2}{y'}=5x <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow\frac{(\frac{-5}{ln(x)})^2}{\frac{5}{x(ln(x))^2} } \Rightarrow \frac{-5^2x}{5}\Rightarrow 5x \end{eqnarray}$ Und da $\begin{eqnarray} \frac{y^2}{y'}=5x \end{eqnarray*}$ und das Ergebnis der Probe übereinstimmt, ist die Funktion bewiesen. oder?
05.01.2014, 16:31	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip ja. Genau genommen hast du es für $\begin{eqnarray} y=-\frac{5}{ ln\|x\|+0} \end{eqnarray}$ gezeigt. Mit $\begin{eqnarray} c_1 \neq 0 \end{eqnarray}$ hätte es aber genauso funktioniert.
06.01.2014, 20:12	herrmy	Auf diesen Beitrag antworten »
wollt mich nur noch kurz bedanken!!!
06.01.2014, 21:56	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne doch. Freut mich, dass alles klar ist.

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