Integral über Ellipse auf Kugeloberfläche

18.12.2013, 16:45	thewesley	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral über Ellipse auf Kugeloberfläche Meine Frage: Hallo, ich komme bei der Berechnung des Flächeninhaltes einer auf die Einheitsugel projizierten und gedrehten Ellipse nicht weiter. Die Ellipse soll auf der Oberfläche der Einheitskugel am Punkt $\begin{eqnarray} \theta_0 = \begin{bmatrix} \vartheta_0 & \varphi_0 \end{bmatrix}^\mathrm T \end{eqnarray}$ (Elevation und Azimiut) zentriert und um den Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ gedreht sein. Die Halbachsen seien $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Meine bisherige Idee war, dass ich vom Koordinatensystem $\begin{eqnarray} \theta = \begin{bmatrix} \vartheta & \varphi \end{bmatrix}^\mathrm T \end{eqnarray}$ in das gedrehte und verschobene Koordinatensystem $\begin{eqnarray} \theta' = \begin{bmatrix} \vartheta' & \varphi' \end{bmatrix}^\mathrm T \end{eqnarray}$ übergehe. $\begin{eqnarray} <br /> \theta = \begin{bmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha)\end{bmatrix} \cdot \theta' + \theta_0<br /> \end{eqnarray}$ In den gestrchenen Koordinaten kann ich die Ellipsengleichung nutzen: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{\vartheta'^2}{a^2} + \frac{\varphi'^2}{b^2} = 1<br /> \end{eqnarray}$ Bzw. für positive Elevationen: $\begin{eqnarray} <br /> \hat \vartheta(\varphi') = \vartheta' = a \sqrt{1 - \frac{\varphi'^2}{b^2}}<br /> \end{eqnarray}$ Das Integral wäre dann $\begin{eqnarray} <br /> A = \int_{-b}^{b} \! \int _{-\hat \vartheta(\varphi)}^{\hat \vartheta(\varphi)} \lvert \cos(\vartheta) \rvert \, d\vartheta' d\varphi'<br /> \end{eqnarray}$ Der Kosinus kommt von der Flächenberechnung auf der Ausgangskugel (skalares Flächenelement) und muss noch in gestrichene Koordinaten überführt werden. $\begin{eqnarray} <br /> A = \int_{-b}^{b} \! \int _{-\hat \vartheta(\varphi)}^{\hat \vartheta(\varphi)} \lvert \cos(\cos(\alpha) \vartheta' + \sin(\alpha) \varphi' + \vartheta_0) \, \rvert d\vartheta' d\varphi'<br /> \end{eqnarray}$ Hier beginnen meine Probleme. Zum einen stört mich der Betrag dort etwas. Dieser kommt aber auch nur zum Tragen, wenn man sich in der Nähe der Pole befindet und die Elevation ggf. ihren Definitionsbereich $\begin{eqnarray} \vartheta \in \left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right] \end{eqnarray}$ über- oder unterschreitet. Zum anderen kann man das innere Integral zwar lösen, nur weiß ich nicht, wie es dann weitergeht - auch nicht, wenn ich die Betragsstriche weglasse. $\begin{eqnarray} <br /> A = \int_{-b}^{b} \! \int _{-\hat \vartheta(\varphi)}^{\hat \vartheta(\varphi)} \cos(\cos(\alpha) \vartheta' + \sin(\alpha) \varphi' + \vartheta_0) d\vartheta' d\varphi'<br /> \\<br /> = \tfrac{1}{\cos(\alpha)} \int_{-b}^{b} \left[ \sin(\cos(\alpha) \vartheta' + \sin(\alpha) \varphi' + \vartheta_0) \right]_{-a \sqrt{1 - \frac{\varphi'^2}{b^2}}}^{a \sqrt{1 - \frac{\varphi'^2}{b^2}}} d\varphi'<br /> \\<br /> = \tfrac{1}{\cos(\alpha)} \int_{-b}^{b} \sin\left(a \cos(\alpha) \sqrt{1 - \frac{\varphi'^2}{b^2}} + \sin(\alpha) \varphi' + \vartheta_0\right) - <br /> \sin\left(-a \cos(\alpha) \sqrt{1 - \frac{\varphi'^2}{b^2}} + \sin(\alpha) \varphi' + \vartheta_0\right) d\varphi'<br /> \end{eqnarray}$ An der Stelle hat auch Wolfram\|Alpha die Segel gestrichen. Für Hinweise zu möglichen Lösungswegen oder Fehlern in meinen Überlegungen wäre ich dankbar. Näherungslösungen wären je nach Voraussetzung auch in Ordnung.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »