Zeige, dass es ein x e R gibt.

18.12.2013, 17:10

BibaBuba92

Zeige, dass es ein x e R gibt.

Hallo Leute, brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

Zeigen Sie, dass es ein x element R mit:
$\begin{eqnarray*} x^{179} + \frac{163}{1 + x^{2} + \sin(x)^{2}} = 119 \end{eqnarray*}$
gibt.

Ich glaube, dass ich mithilfe des Zwischenwertsatz oder Nullstellensatz von Bolzano zu einer Lösung kommen sollte. Aber ich weiß nicht so recht wie ich da jetzt anfangen muss. :/
Kann mir wer auf die Sprünge helfen?

Danke schonmal!

18.12.2013, 17:15

Iorek

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Was sagt der Zwischenwertsatz bzw. Nullstellensatz denn aus?

18.12.2013, 17:22

BibaBuba92

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Also ich habe den Zwischenwertsatz so verstanden:
Wenn meine Funktion in einem Intervall [a,b] stetig ist und y_0 zwischen den Funktionswerten f(a) und f(b) liegt, dann find ich ein x_0 in [a,b], sodass der Funktionswert f(x_0) = y_0 ist.

18.12.2013, 17:33

Iorek

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Ok, das ist soweit in Ordnung. Welche Funktion würdest du hier denn betrachten wollen? Sind die Voraussetzungen gegeben, um den ZWS anwenden zu können? Und dann: was könnten passende $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(a)<119,f(b)>119 \end{eqnarray*}$ sein?

18.12.2013, 17:50

BibaBuba92

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Ich würde wohl einfach umstellen, sodass ich dann $\begin{eqnarray*} f(x) = x^{179} + \frac{163}{1 + x^{2} + \sin(x)^{2}} - 119 \end{eqnarray*}$ habe, oder gibt's da noch Alternativen?
Vorraussetzung ist doch nur die Stetigkeit im Intervall [a,b] oder? Wenn ich jetzt bspw. a = -2 und b = 2 nehme. Ich habe mir die Funktion zeichnen lassen, stetig ist sie, da fängt's jetzt aber schon wieder an, dass ich nicht weiß wie ich das jetzt noch korrekt beweisen soll.

18.12.2013, 18:03

Iorek

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Ok, das wäre eine klein wenig abgewandelte Vorgehensweise (damit würdest du Nullstellen mit dem Zwischenwertsatz untersuchen, das tuts aber genauso).

Zunächst einmal solltest du begründen, weshalb diese Funktion wohldefiniert ist und noch Definitions- und Wertebereich angeben. Was ist denn mit den einzelnen Teilfunktionen die du so hast? $\begin{eqnarray*} x\mapsto x^{179},x\mapsto x^2,x\mapsto\sin(x)^2 \end{eqnarray*}$ etc., kannst du etwas über Stetigkeit sagen? Und dann war da so etwas mit der Summe/Produkt/Verkettung stetiger Funktionen...

18.12.2013, 18:17

BibaBuba92

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Summen/.../... stetiger Funktionen sind wieder stetig. $\begin{eqnarray*} x \mapsto x^n, sin(x), 1/x \end{eqnarray*}$ und Konstante sind allesamt stetig, darf ich das als bekannt annehmen?

Wohldefiniertheit bedeutet, dass ich ein Element durch die Funktion nicht auf 2 verschiedene Elemente abbilde, doch wie zeige ich das?
Und was kann ich über den Definitions- und Wertebereich denn aussagen? Hätte jetzt einfach gesagt $\begin{eqnarray*} R \mapsto R \end{eqnarray*}$ verwirrt

//
a propos Nullstellen.
Reicht es nicht wegen dem Nullstellensatz von Bolzano einfach zu sagen, das für a=-2 und b=2 eben f(a) * f(b) kleiner 0 ist (f(-2) ist ja negativ und f(2) positiv.) und somit ein x_0 exisitiert mit f(x_0) = 0?

18.12.2013, 18:44

Iorek

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Wenn ihr die entsprechenden Aussagen zur Stetigkeit hattet, darfst du das verwenden.

Wohldefiniertheit bedeutet aber noch mehr. Wenn du als Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ vorgeben willst, muss der gegebene Ausdruck für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert sein. Ist das der Fall?

Dann: wenn du $\begin{eqnarray*} f(-2)<0,f(2)>0 \end{eqnarray*}$ nachweisen kannst, reicht das aus. Falls ihr keinen Taschenrechner verwenden dürft, ist das ausrechnen allerdings schwierig. Da müsste man dann mit anderen Werten arbeiten und versuchen, die Funktionswerte entsprechend abzuschätzen.

18.12.2013, 19:13

BibaBuba92

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Zitat:

Original von IorekWohldefiniertheit bedeutet aber noch mehr. Wenn du als Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ vorgeben willst, muss der gegebene Ausdruck für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert sein. Ist das der Fall?

Die Wohldefiniertheit muss ich doch zeigen um überhaupt sagen zu können, dass das was ich angegeben habe eine Funktion ist, oder?
Wie würdest du denn hier jetzt vorgehen? :/

Zitat:

Dann: wenn du $\begin{eqnarray*} f(-2)<0,f(2)>0 \end{eqnarray*}$ nachweisen kannst, reicht das aus. Falls ihr keinen Taschenrechner verwenden dürft, ist das ausrechnen allerdings schwierig. Da müsste man dann mit anderen Werten arbeiten und versuchen, die Funktionswerte entsprechend abzuschätzen.

Ich bin mir nichtmal sicher, ob wir einen TR verwenden dürfen oder nicht. verwirrt

Nachweisen, hmm schwierig, ich könnte nur sagen es ist logisch, da 179 ungerade ist und somit -2^179 ungerade und das eben vieeel größer ist als der Rest des Terms.
Auch hier wieder: Könntest du mir ein Tipp geben wie du vorgehen würdest? unglücklich

18.12.2013, 19:33

Iorek

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Naja, was könnte denn hier schiefgehen? Die Eindeutigkeit der Zuordnung ist kein Problem, es müsste nur noch überprüft werden, ob $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ existiert (oder ob man z.B. negative Zahlen unter einer Wurzel oder ähnliche Verstöße gegen mathematische Grundgesetze hat).

Ob ihr einen TR verwenden dürft, kann ich dir auch nicht sagen. Wenn man keinen vorliegen hat, könnte man sich mal $\begin{eqnarray*} f(0) \end{eqnarray*}$ und Funktionswerte für negative (ganzzahlige) Vielfache von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ansehen.

18.12.2013, 20:00

BibaBuba92

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Zitat:

Also mir fallen eigentlich keine Probleme auf. Das einzige was auf den ersten Blick schief gehen könnte wäre die Division durch 0. Aber das ist ja hier ausgeschlossen. Von dem her würde ich sagen f ist für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert.

Zitat:

Ob ihr einen TR verwenden dürft, kann ich dir auch nicht sagen. Wenn man keinen vorliegen hat, könnte man sich mal $\begin{eqnarray*} f(0) \end{eqnarray*}$ und Funktionswerte für negative (ganzzahlige) Vielfache von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ansehen.

$\begin{eqnarray*} f(0) = 163 - 119 = 44 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(-\pi) = \end{eqnarray*}$ Negative Zahl + negative Zahl (da $\begin{eqnarray*} sin(-\pi) \end{eqnarray*}$ null ist, somit wird 163 durch 1 + pi^2 geteilt und das ist dann kleiner als 119), also insgesamt kleiner 0. (komisch formuliert, aber soll nur mal so den Gedankengang darstellen)
Und aus dem Nullstellensatz von Bolzano folgt dann, dass im Intervall [- pi, 0] ein x_0 existiert, sodass f(x_0) = 0. Damit ist gezeigt, dass ein x existiert sodass die Gleichung stimmt.
Stimmt das so?

18.12.2013, 20:17

Iorek

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Zitat:

Original von BibaBuba92
Das einzige was auf den ersten Blick schief gehen könnte wäre die Division durch 0. Aber das ist ja hier ausgeschlossen.

Warum ist diese aufgeschlossen?

Zitat:

Original von BibaBuba92
$\begin{eqnarray*} f(-\pi) = \end{eqnarray*}$ Negative Zahl + negative Zahl (da $\begin{eqnarray*} sin(-\pi) \end{eqnarray*}$ null ist, somit wird 163 durch 1 + pi^2 geteilt und das ist dann kleiner als 119), also insgesamt kleiner 0.

Warum sollte denn $\begin{eqnarray*} \frac{163}{1+(-\pi)^2+\sin(-\pi)^2}=\frac {163}{1+\pi^2} \end{eqnarray*}$ negativ sein? verwirrt

Dein Gedankengang stimmt aber. Das muss jetzt nur noch korrekt begründet werden. Kannst du eine obere Schranke für $\begin{eqnarray*} \frac {163}{1+\pi^2} \end{eqnarray*}$ angeben?

18.12.2013, 20:23

BibaBuba92

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Die Division durch 0 ist ausgeschlossen, da sich sin(x) ja nur im Bereich [-1,1] abspielt, dazu das +1 und x^2 ist ja auch immer positiv. Also keine Chance auf 0 zu kommen, oder vertue ich mich da gerade?

Zitat:

Warum sollte denn $\begin{eqnarray*} \frac{163}{1+(-\pi)^2+\sin(-\pi)^2}=\frac {163}{1+\pi^2} \end{eqnarray*}$ negativ sein? verwirrt

Nein, ich meinte nicht $\begin{eqnarray*} \frac {163}{1+\pi^2} \end{eqnarray*}$ wird negativ, sondern $\begin{eqnarray*} \frac {163}{1+\pi^2} - 119 \end{eqnarray*}$ wird negativ, da eben $\begin{eqnarray*} \frac {163}{1+\pi^2} \end{eqnarray*}$ kleiner als 119 wird. So verständlicher?
Um auf die obere Schranke zurückzukommen.
Wenn ich sage, dass pi^2 größer als 9 ist (also nach unten mit 9 abschätze), dann lässt sich ja sagen dass $\begin{eqnarray*} \frac {163}{1+\pi^2} < \frac {163}{10} \end{eqnarray*}$ ist. Also ist 16.3 ne obere Schranke.

18.12.2013, 20:47

Iorek

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Ah, ok. Dann hab ich das auf den falschen Summanden bezogen.

Damit hast du jetzt eigentlich alles, was du benötigst. $\begin{eqnarray*} (-\pi)^{179} \end{eqnarray*}$ ist negativ, du hast für $\begin{eqnarray*} \frac {163}{1+\pi^2} \end{eqnarray*}$ eine obere Schranke gefunden die du einbringen kannst...insgesamt kannst du damit nun argumentieren, dass $\begin{eqnarray*} f(-\pi)<0 \end{eqnarray*}$ ist und hast alle Voraussetzungen zur Anwendung des Zwischenwertsatzes abgearbeitet. smile

18.12.2013, 20:53

BibaBuba92

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Wow, das tut gut nach so einem steinigen Weg etwas verwertbares vor sich zu haben. xD
Dir vielen, vielen Dank für die Zeit und Mühe, die du auf dich genommen hast! Freude

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Zeige, dass es ein x e R gibt.

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