Funktionenschar (ln(x)-2a)*ln(x)

19.12.2013, 12:15	Wiwaldi	Auf diesen Beitrag antworten »
*Funktionenschar (ln(x)-2a)ln(x) Meine Frage:** Hallo zusammen! Ich habe folgende Funktionenschar zu lösen: fa(x)= (ln(x)-2a)ln(x) Die Aufgabe besteht aus 7 Teilen, von denen ich alle bis auf den letzten lösen konnte. Aufgabenstellung sieht folgendermaßen aus: 7) Untersuchen Sie, ob $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! f0(x) \, dx \end{eqnarray}$ definiert (konvergent) ist. Meine Ideen:* Es ergibt sich ja schon mal, dass f0(x) = ln²(x) ist. Die Stammfunktion zu ln²(x) lautet ja x*ln²(x)-2xln(x)+2x Nun kann wegen dem ln für x nicht Null eingesetzt werden. Für x=1 ginge der ganze Part gegen 2. Doch wie löse ich das Problem mit der Null? Hab mir den Tipp gegen lassen, dass L'Hospital da weiterhelfen soll, aber bin leider trotzdem nicht wirklich weiter gekommen, denn man müsste ja, wenn ich richtig verstanden habe die Funktion durch die innere Ableitung teilen. Oder bin ich da ganz auf dem Holzweg? Bin für jede Hilfe dankbar.
19.12.2013, 12:24	Wiwaldi	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls es hilfreich ist, hier noch eine kleine Ergänzung zum Definitionsbereich: $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R +<br /> a \in \mathbb R \end{eqnarray}$
19.12.2013, 12:42	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst das Integral $\begin{eqnarray} \int_z^1 \! ln^2(x) \, dx \end{eqnarray}$ betrachten und am Ende z gegen 0 streben lassen. Für den am Ende entstehenden Ausdruck, kannst du sowas hier ausnutzen, denn für L'Hospital brauchst du ja einen Bruch: $\begin{eqnarray} a \cdot b = \frac{a}{\frac{1}{b}} \end{eqnarray}$
19.12.2013, 14:05	Wiwaldi	Auf diesen Beitrag antworten »
Demnach hätte ich dann für z statt Null da stehen: ...-(zln²(z) - 2zln(z) + 2z) sehe ich doch richtig, oder? Dann kann ich doch hingehen, und das z ausklammern, sodass ich einen Ausdruck für a und einen für b habe, ist das richtig? Hieße dann: z* (ln²(z) - 2*ln(z) +2) dann wäre z=a und der Rest gleich b bzw. andersrum. Ist der Ansatz so korrekt?
20.12.2013, 20:41	Wiwaldi	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn der Schritt oben richtig war, dann wäre die Gleichung nach L'Hospital: $\begin{eqnarray} \frac{ln²(x)-2ln(x)+2}{1/z} \end{eqnarray}$ Und dann müssen Zähler und Nenner getrennt voneinander abgeleitet werden, richtig?

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