Beweis zum arithmetischen Mittel und Mengen

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MsMagiczZ Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis zum arithmetischen Mittel und Mengen
Hallo Leute,

ich bin in der Q1 und habe heute von meiner Mathe LK Lehrerin eine Aufgabe bekommen bei der ich nicht wirklich weiter komme.

Undzwar soll eine Person 100 Zahlen an die Tafel schreiben und de Zahlen sollen so gewählt sein, dass sich das arithmetische Mittel von 3 zufälligen Zahlen die an der Tafel stehen, wieder auf der Tafel finden lässt. (Hoffe die Aufgabe ist bis hier hin verständlich) Und jetzt soll ich beweisen, dass das nur funktioniet wenn alle Zahlen gleich sind.

Ich weiß nicht ob es wirklich hilft, aber ich habe erstmal einen Beweis gebracht, dass das gilt wenn alle Zahlen gleich sind:

Gegeben ist die Menge

Zu zeigen ist ja also dass,
wenn
und alle Elemente aus den gleichen Wert haben.

Da alle Elemente aus den gleichen Wert haben, ergibt sich daraus, dass es egal ist welche Elemente ich für mein arithmetisches Mittel auswähle. Also


Wenn ich nun meine Formel für mein a. Mittel anpasse ergibt sich:
und daraus wiederum
Das a. Mittel ist also . Da zuvor aus ausgewählt wurde ist bewiesen, dass unsere erste Annahme richtig ist. Stimmt das bis hier soweit alles?

Aber jetzt weiß ich nicht genau wie ich beweisen soll das es nicht funktioniert, wenn nicht alle Zahlen gleich sind. Habe mir bis jetzt überlegt es durch einen Wiederspruch zu beweisen, aber das weiß ich auch nicht wie ich anfangen soll.

Wenn ihr mir helfen könntet wäre das gut,

danke!

MsMagiczZ
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Hier eine Beweisskizze: Wir nehmen an, nicht alle 100 Zahlen sind gleich und diese erfüllten die Vorschrift. Es gibt also Zahlen a und b mit a<b. Nach Voraussetzung existiert c=(a+2b)/3 mit a<c<b. Auf dieselbe Weise konstruieren wir aus a und c sowie c und b Zahlen e und f mit a<e<c<f<b usw. Wir sprengen nach wiederholten Anwenden des Verfahrens die Grenze der 100 Zahlen und erhalten unseren gewünschten Widerspruch.
Nabi Auf diesen Beitrag antworten »

Die Antwort sieht interresant aus. Was ist denn, wenn jede Zahl nur einmal vorkommt?
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Steht im Startpost
MsMagiczZ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Donquixote
Hier eine Beweisskizze: Wir nehmen an, nicht alle 100 Zahlen sind gleich und diese erfüllten die Vorschrift. Es gibt also Zahlen a und b mit a<b. Nach Voraussetzung existiert c=(a+2b)/3 mit a<c<b. Auf dieselbe Weise konstruieren wir aus a und c sowie c und b Zahlen e und f mit a<e<c<f<b usw. Wir sprengen nach wiederholten Anwenden des Verfahrens die Grenze der 100 Zahlen und erhalten unseren gewünschten Widerspruch.


Hey Donquixote,

Danke schonmal für deine Schnelle Antwort.

Kann man das ganze auch in so weit verkürzen, dass ich es nicht für die 100 Elemente mache, sondern nur sage, dass es dazu führen wird?
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich es mir recht überlege, würde ich wahrscheinlich nicht ausfürhlricher als in meiner Beweisskizze argumentieren. Zu sagen, dass wir mehr als 100 Zahlen derart konstruieren können, reicht aus, denke ich.
 
 
MsMagiczZ Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann nochmal danke für deine schnelle Antwort. Hat mir echt geholfen
Fragen über Fragen Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe stammt wieder mal aus der Runde 1 des BWM.
MsMagiczZ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fragen über Fragen
Die Aufgabe stammt wieder mal aus der Runde 1 des BWM.


Hey, von BWM weiß ich nichts. Haben die Aufgabe von unserer Mathe Lehrerin bekommen ohne weitere Infos, wo die die her hat weiß ich nicht.
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