Wendepunkte bestimmen Konvex

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19.12.2013, 18:48	minh thien	Auf diesen Beitrag antworten »
Wendepunkte bestimmen Konvex Meine Frage: Hallo, wie ermittelt man Wendepunkte? So lautet die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=2x^{3}+6x^{2}+9x-10 \end{eqnarray}$ Und Was heißt konvex? Ich muss überprüfen, ob die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=x^{4}+x^{2} \end{eqnarray}$ konvex ist. Wie ermittel ich das? $\begin{eqnarray} x\in\mathbb R \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Damit Wendepunkte exestieren muss die zweite Ableitung gleich Null sein mehr weiß ich leider nicht.
19.12.2013, 18:51	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann bilde doch einfach mal die zweite Ableitung und berechne davon die Nullstellen. Was konvexe Funktionen sind, kannst du dir hier mal angucken.
19.12.2013, 18:52	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wendepunkte bestimmen Konvex Hallo minh thien, Zum Thema Wendestellen: $\begin{eqnarray} f''(x_w)=0\wedge f'''(x_w)\neq 0 \end{eqnarray}$ Zum Thema konvex: Ganz salopp gesagt heißt eine Funktion konvex wenn sie linksgegrümmt ist. Die Bedingung lautet $\begin{eqnarray} f''(x)>0 \end{eqnarray}$ . Beste Grüße!
19.12.2013, 19:07	minh thien	Auf diesen Beitrag antworten »
Oke vielen Dank erstmal. Ich habe als Ableitung folgendes raus $\begin{eqnarray} f'(x)=6x^{2}+12x+9 \end{eqnarray}$ Jedoch erhalte ich dafür keine reelen Nullstellen was mache ich falsch?
19.12.2013, 19:10	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Das liegt daran, dass das nicht die zweite Ableitung ist.
19.12.2013, 19:40	minh thien	Auf diesen Beitrag antworten »
Oke sorry bisschen daneben heute. f''(x)=12x+12 Dann habe ich meine Wendepunkt bei -1 Danke. Wie kann ich nun überprüfen ob meine zweite Funktion konvex ist? Die zweite Ableitung lautet $\begin{eqnarray} 12x^{2}+2 \end{eqnarray}$ Wie überprüfe ich ob das größer 0 ist?
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19.12.2013, 19:45	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Um definitiv zu sagen, dass bei x=-1 eine Wendestelle ist, musst du, wie Cheftheoretiker schon gesagt hat, noch überprüfen, ob die dritte Ableitung an dieser Stelle ungleich 0 ist. Guck dir mal die beiden Summanden der zweiten Ableitung an. Was haben diese denn für ein Vorzeichen? Und welches Vorzeichen hat dann die Summe?
19.12.2013, 20:17	minh thien	Auf diesen Beitrag antworten »
dritte Ableitung ist ungleich Null und x Quadrat ist immer positiv das heißt die Funktion ist konvex hab ich recht?
19.12.2013, 20:25	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, hast du.
19.12.2013, 20:53	minh thien	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay vielen Dank habe es verstanden. Und kankav ist es wenn es kleiner Null ist oder?
19.12.2013, 20:54	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja.
19.12.2013, 21:02	minh thien	Auf diesen Beitrag antworten »
Oke dann nur noch eine Frage Wie erkennt man ob eine Funktion einen Sattelpunkt hat?
20.12.2013, 13:09	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Sattelpunkt ist eine Stelle, an der z.B. die erste und zweite Ableitung =0 sind, und die dritte Ableitung ungleich 0. Also hat $\begin{eqnarray} f(x)=x^3 \end{eqnarray}$ bei x=0 einen Sattelpunkt, denn $\begin{eqnarray} f'(0)=f''(0)=0, f'''(0)=6\neq 0. \end{eqnarray}$ Allgemein gilt: Sind an der Stelle x die ersten $\begin{eqnarray} 2n \end{eqnarray}$ Ableitungen gleich 0 und die (2n+1)-te Ableitung ungleich 0, dann hat die Funktion bei x einen Sattelpunkt (n ist ein natürliche Zahl). Die Anzahl der Ableitungen, die 0 sind, muss also gerade sein, bevor eine Ableitung kommt, die ungleich 0 ist. Z.B. bei $\begin{eqnarray} f(x)=x^5: f'(x)=5x^4, f''(x)=20x^3,\\ f'''(x)=60x^2, f^{(4)}(x)=120x, f^{(5)}(x)=120. \end{eqnarray}$ Hier sind an der Stelle x=0 die ersten 4 Ableitungen =0, und die 5. Ableitung ist ungleich 0. Weil 4 gerade ist, hat die Funktion an dieser Stelle also einen Sattelpunkt.

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