Rollbewegung einer Kugel

19.12.2013, 20:33

sarah12

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Rollbewegung einer Kugel

Meine Frage:
Die Aufgabe:
Eine Kugel rollt reibungslos eine geneigte Bahn hinab und erreicht den Tiefsten Punkt T. Beim Aufwärtsrollen erreicht sie das senkrechte Ende der Schiene im Punkt E und verlässt sie. Punkt E liegt 1,0m über Punkt T. Nach verlassen der Bahn bewegt sich die Kugel in der Luft weiter, erreicht bei H den höchsten Punkt ihrer Flugbahn und fällt dann zurück. Der Startpunkt der Kugel befindet sich 3,0m über dem Punkt T.

Meine Frage:
Wie kann ich nachweisen, dass die Bahngeschwindigkeit der Kugel im Punkt T durch : Wurzel 10/7 x gh v= \sqrt \frac{10}{7} \cdot gh

Meine Ideen:
Naja ich weiß das ich das mithilfe von der Energieerhaltung und dem Trägheitmoment ausrechnen kann... Aber herleiten kann ich es leider nicht. Kann mir da bitte jemand helfen?

19.12.2013, 20:55

Dopap

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Du nimmst den Energiesatz:

$\begin{eqnarray*} \tfrac 12 mv^2 +\tfrac 12 J \omega ^2 =mgh \end{eqnarray*}$

mit Trägheitsmoment $\begin{eqnarray*} J=\tfrac 2 5 m R^2 \end{eqnarray*}$

und der Relation zwischen v und $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ beim Rollen : $\begin{eqnarray*} \omega=\frac v R \end{eqnarray*}$

19.12.2013, 21:05

sarah12

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rollbewegung einer kugel
Das verstehe ich nicht ganz. Ist das der gesamte lösungsweg, um auf dieses ergebniss dort oben zu kommen? Und wie müsste ich die Werte einsetzten?

19.12.2013, 21:09

Dopap

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da ist noch ein wenig zum rechnen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dann kommt die Lösung raus. Wenn du willst, kannst du ja h=3 setzen und eventuell noch g=9.81

19.12.2013, 21:16

sarah12

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rollbewegung einer kugel
Ja, aber wie bekomme ich den w und R und m heraus? habe die ganzen einheiten ja nicht. Bin echt nicht besonders gut in Physik. Die Aufgabe ist sehr wichtig. Danke im vorraus

19.12.2013, 21:25

Dopap

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m und R muss man nicht wissen, die kürzen sich heraus !!!

Jetzt alles einsetzen und nach v auflösen...

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19.12.2013, 21:27

sarah12

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rollbewegung einer kugel
heißt das ich muss das ganze Umstellen? Und wenn ja was genau? kannst du mir das zeigen? Danke smile

smile

19.12.2013, 21:39

Dopap

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eigentlich ist das doch reine Algebra

Zitat:

Original von Dopap

$\begin{eqnarray*} \tfrac 12 mv^2 +\tfrac 12 J \omega ^2 =mgh \end{eqnarray*}$

mit Trägheitsmoment $\begin{eqnarray*} J=\tfrac 2 5 m R^2 \end{eqnarray*}$

und der Relation zwischen v und $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ beim Rollen : $\begin{eqnarray*} \omega=\frac v R \end{eqnarray*}$

also: mal 2

$\begin{eqnarray*} mv^2 + J \omega ^2 =2mgh \end{eqnarray*}$ einsetzen:

$\begin{eqnarray*} mv^2 + \tfrac 25 m R^2 \omega ^2 =2mgh \end{eqnarray*}$ einsetzen:

$\begin{eqnarray*} mv^2 + \tfrac 25 m R^2 \frac {v^2}{R^2} =2mgh \end{eqnarray*}$

2 mal kürzen , zusammenfassen nach v^2 auflösen

Bemerkung: ist das mit Hochschule zutreffend verwirrt

verwirrt

19.12.2013, 21:51

sarah12

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rollbewegung einer kugel
Oh nein, da muss ich mich vertippt haben! Ich bin in der Oberstufe auf dem Gymnasium. Hammer

Hammer

Aber was muss ich da denn einsetzten? und wie kamst du auf die formel? Hat das etwas mit der potentielle und kinetische engergie zutun?

19.12.2013, 22:05

Dopap

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die Physik hatte ich ja schon für dich erledigt:

Zitat:

Original von Dopap
Du nimmst den Energiesatz:

$\begin{eqnarray*} {\underbrace {\tfrac 12 mv^2}_{Translatorische Energie}} +{\underbrace{\tfrac 12 J \omega ^2}_{Rotationsenergie}} ={\underbrace {mgh}_{potentielle Energie}} \end{eqnarray*}$

mit Trägheitsmoment ( der Kugel ) $\begin{eqnarray*} J=\tfrac 2 5 m R^2 \end{eqnarray*}$

und der Relation zwischen v und $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ beim Rollen : $\begin{eqnarray*} \omega=\frac v R \end{eqnarray*}$

19.12.2013, 22:10

sarah12

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ok vielen dank, kannst du mir jetzt noch zeigen wie ich das einsetzten muss, um dann letztendlich auf das Ergebniss zu kommen ( also wurzel 10/7 *g*h)? smile

smile

19.12.2013, 22:18

sarah12

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kannst du mir sagen ob das so richtig ist?

m*g*h = 1/5 * J * omega^2 + 1/2 * m * v^2

m*g*h = 1/5 * m * r^2 * v^2/r^2 + 1/2 m * v^2

g*h = 1/5 v^2 + 1/2 v^2

g*h = 7/10 v^2

v = Wurzel aus (10/7)*g*h

v = 2,65 m/s

19.12.2013, 22:28

Dopap

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Eigentlich nicht, aber jetzt ist das auch nicht mehr so wichtig.

also: mal 2

$\begin{eqnarray*} mv^2 + J \omega ^2 =2mgh \end{eqnarray*}$ J einsetzen:

$\begin{eqnarray*} mv^2 + \tfrac 25 m R^2 \omega ^2 =2mgh \end{eqnarray*}$ Relation einsetzen:

$\begin{eqnarray*} mv^2 + \tfrac 25 m R^2 \frac {v^2}{R^2} =2mgh \end{eqnarray*}$

mit m kürzen, mit R^2 kürzen

$\begin{eqnarray*} v^2 + \tfrac 25 v^2 =2gh \end{eqnarray*}$ mal 5

$\begin{eqnarray*} 5v^2 + 2 v^2 =10gh \end{eqnarray*}$

jetzt ist aber Schluss mit vorrechnen !

edit: deine erste Zeile ist falsch !

19.12.2013, 22:33

sarah12

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oh man vielen dank, du hast mich echt gerettet! Freude

Freude

aber was meinst du denn mit kürzen ? Muss man da noch viel ausrechnen?

19.12.2013, 22:34

sarah12

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kannst du mir sagen was an meiner ersten zeile falsch ist?

19.12.2013, 22:41

Dopap

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1.) Zeile 1 : $\begin{eqnarray*} \tfrac 12 J \omega^2 \end{eqnarray*}$ muss es heissen.

2.) Du hast doch selbst in Zeile 3 das m "weggelassen" und das r^2 gekürzt

3.) ich glaube, das Ganze hast du abgeschrieben Augenzwinkern

Augenzwinkern

4.) bei mir kommt v=6.48 m/s raus , wenn h=3m ist.

20.12.2013, 00:01

sarah12

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um ehrlich zu sein hast du recht unglücklich

unglücklich

oh man physik ist nicht so mein fach. danke das du mir hilfst. habe das jetzt erst gesehen, da ich die 2. seite nicht gesehen hab Hammer

Hammer

20.12.2013, 00:09

sarah12

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heißt das denn jetzt, dass wenn ich überall wo 1/5 steht 1/2 einsetzten muss, damit das richtig ist?

20.12.2013, 00:11

sarah12

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wenn ich das in meinen taschenrechner eingebe kommt da irgendwie 35,..... raus

20.12.2013, 00:14

Dopap

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nein, nur bei Zeile 1 muss es $\begin{eqnarray*} \tfrac 12 J \omega^2 \end{eqnarray*}$ heißen.

Der Rest ist in Ordnung.

20.12.2013, 00:17

sarah12

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also so?

m*g*h = 1/2 * J * omega^2 + 1/2 * m * v^2

m*g*h = 1/5 * m * r^2 * v^2/r^2 + 1/2 m * v^2

g*h = 1/5 v^2 + 1/2 v^2

g*h = 7/10 v^2

v = Wurzel aus (10/7)*g*h

v = 6,48 m/s

20.12.2013, 00:24

Dopap

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genau so

Freude

20.12.2013, 00:25

sarah12

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vieleeeeeeeen dank, du hast mich gerettet Gott

Gott

Big Laugh

20.12.2013, 00:31

Dopap

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dann kann ich endlich auch zu Bett gehen ! Wink

Wink

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