Zeilen-Stufenform

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tasmin7 Auf diesen Beitrag antworten »
Zeilen-Stufenform
Meine Frage:
Hallo!
Wir hatten heute in der Vorlesung die Zeilen-Stufenform und ich bin mir nicht sicher, ob ich das richtig verstanden habe.
Ich habe die erweiterte Koeffizienten-Matrix


Und wenn ich das richtig verstanden habe, soll ich das doch so umformulieren, dass ich am Ende die Form

erhalte, oder?

Meine Ideen:
irgendwie bekomme ich das in der dritten zeile nie so hin. Gibt es einen Trick oder so?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gehe bei solchen Umformungen eigentlich immer gleich vor, außer ich sehe direkt, dass eine andere Vorgehensweise leichter ist.

Ich nehme eigentlich immer die erste Zeile und erzeuge damit nun in der zweiten und dritten Zeile an der ersten Stelle die Null. In diesem Fall wäre das also

I-II
I-III

hat hier den eleganten Nebeneffekt, dass in der dritten Zeile an zweiter Stelle auch direkt die Null entsteht, was wir ja gerade erreichen wollen. Sowas ist zum Beispiel etwas was ich oben mit "leichter" meinte. Wenn man sowas aber nicht direkt sieht, dann kann man eigentlich immer nach einem gewissen Schema F vorgehen, weil es dadurch dann nicht unbedingt schneller gelöst wird.

Hätten wir jetzt einen Fall, wo in der dritten Zeile an der gewünschten Stelle nicht direkt die Null entsteht, dann nimmst du nun die zweite Zeile und bringst damit die dritte Zeile an der gewünschten Stelle auf Null.

Das musst du machen, weil wenn du es wieder mit der ersten Zeile umformst, du zwar an der zweiten Stelle eine Null bekommst, aber da der erste Eintrag der ersten Zeile von Null verschieden ist (normalerweise, muss natürlich nicht immer so sein) würdest du die Null in an erster Stelle der dritten Zeile wieder verschwinden lassen weshalb dann die erste Umformung "sinnlos" war.

Hoffe das war einigermaßen verständlich.

Das ist dann eigentlich immer so, dass du im ersten Schritt die erste Zeile nimmst und in den übrigen Zeilen an erster Stelle die Null erzeugst.
Danach nimmst du die zweite Zeile und erzeugst in allen Zeilen unter dieser die Nullen an zweiter Stelle.
Jetzt würdest du die dritte Zeile nehmen und mit ihr alle weiteren Zeilen an dritter Stelle auf Null bringen usw.
 
 
tasmin7 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
danke für deine Antwort.
Jetzt habe ich das so gemacht, wie du das gesagt hast, also
I-II und I-III
und habe raus


aber das ist doch keine Zeilen-Stufenform, oder?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Zeilen-Stufenform in dem Sinne kannst du hier nicht erzeugen, da du eine (3x4) Matrix hast.
tasmin7 Auf diesen Beitrag antworten »

aber ich habe eine Aufgabenstellung, die sagt:
Bestimmen sie die erweiterte Koeffizienten-Matrix (habe ich ja da oben gemacht) und bringe diese auf Zeilen-Stufenform!
Demnach muss das doch irgendwie zu machen sein....
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeilen-Stufenform
Achso, okay.
Das was du oben angegeben hast war für mich nicht als erweiterte Koeffizientenmatrix ersichtlich, weil dieser Trennungsstrich fehlte. Du meinst also das:




Hätte mir auch gleich auffallen können...

Für die Zeilen-Stufenform musst du natürlich nur das betrachten was vor diesem Trennungsstrich steht.
tasmin7 Auf diesen Beitrag antworten »

ja genau so meinte ich das auch smile

aber ich dachte die ganze Zeit, dass ich b auch mit betrachten muss...
aber habe ich das richtig verstanden, dass ich aus (A) dann

machen muss?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, hast du.

Du möchtest ja dieses Gleichungssystem lösen.
Mit der Zeilen-Stufenform bringst du das Gleichungssystem auf eine Form wo man es leicht lösen kann. Nun hast du wenn du es wieder nicht als Matrix schreibt ja eine Gleichung der Form:



Und kannst dieses sehr leicht auflösen. Diesen Wert kannst du nun in der zweiten Gleichung einsetzen, welche ja



lautet, und bestimmen.
Nun hast du und und machst das gleiche für die erste Gleichung und berechnest .

Du kannst natürlich auch die schreibweise als Matrix beibehalten und so das Gleichungssystem lösen.
tasmin7 Auf diesen Beitrag antworten »

ja aber mein Problem ist ja nicht, wie ich das auflöse, sondern wie ich mein Zeilen-Stufenform aufstelle.

Weil ich habe doch


aber ich weiß nicht, wie ich die -1 zu 1 mache und die -6 zu 1....
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ganze einfach indem du die Zeile mit -1 und -1/6 multiplizierst.
tasmin7 Auf diesen Beitrag antworten »

ach so, sowas geht auch??

dann ist meine Zeilen-Stufenform

Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tasmin7
ach so, sowas geht auch??



denk dran: jede Zeile ist eine Gleichung ! Augenzwinkern
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.

Du sollst aber bestimmt auf diese Form kommen:




Damit du die Lösung des LGS direkt ablesen kannst.
tasmin7 Auf diesen Beitrag antworten »

aber ich dachte bei der Z-SF ist es egal, was nach der 1 steht?

ansonsten könnte ich doch einfach mit den Zahlen nach "|" rechnen und hätte am Ende als Z-SF:



und dann kann ich das ja auch ganz leicht lösen. Oder darf ich das nicht?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe deinen letzten Beitrag nicht so ganz.

Du hast jetzt im Prinzip zwei Mögichkeiten.
Entweder du schreibst es als "normales" Gleichungssystem, so wie ich es ein paar Beiträge vorher bereits getan habe, oder du behältst du Schreibweise als Matrix bei und formst so um, dass nur noch auf der Diagonalen Einsen stehen und du die Lösung direkt ablesen kannst.
Ersteres geht meiner Meinung nach etwas schneller.
Letzteres ist aber wohl etwas schöner.
Jedenfalls solltest du es so lösen wie ihr es in der Vorlesung gemacht habt.

Einfach nur die Zeilen-Stufenform zu erzeugen löst das Gleichungssystem natürlich nicht.
tasmin7 Auf diesen Beitrag antworten »

aber die Aufgabenstellung sagt doch, dass die erweiterte Koeffizientenmatirx in eine Z-SF umrechnen soll.
habe ich dann nicht




wobei die erste Form meine erweiterte Koeffizientenmatrix ist und die zweite Form meine Z-SF?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Die original Aufgabenstellung hast du ja nicht angegeben, so wie ich das sehe.
Wann du fertig bist kann ich dir also nicht genau sagen, aber wenn es stimmt was du sagst, dann solltest du tatsächlich fertig sein.

Das kann ich mir aber ehrlich gesagt nicht wirklich vorstellen, dass man dieses LGS nicht komplett lösen soll.
tasmin7 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tasmin7
Bestimmen sie die erweiterte Koeffizienten-Matrix (habe ich ja da oben gemacht) und bringe diese auf Zeilen-Stufenform!


das ist die original-Aufgabenstellung

danach kommt noch :
"Berechne Anschließend alle Lösungen des GLS!"


Und ich dachte, mit meinen letzten Beitrag hätte ich den ersten Teil gelöst.... der zweite Teil ist ja ganz einfach aus meiner oben angegebenen Z-SF rauszufinden, nämlich
x = 7/3, y = 0, z = 1/3 und hätte auch den zweiten Teil gelöst.

Oder habe ich das falsch verstanden??
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Zeilen-Stufenform ist ja mehr oder weniger eine Art "Abfallprodukt" wenn du das Gleichungssystem löst. Dann erhältst du diese eigentlich automatisch.

Nein, du solltest es nicht falsch verstanden haben.

Deine Ergebnisse passen.
tasmin7 Auf diesen Beitrag antworten »

ah gut smile
wenn das alles war, war das ja gar nicht so schwer!
Danke!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen.
tasmin7 Auf diesen Beitrag antworten »

tsuldigung, ich hätte noch eine Frage:
ich habe das jetzt mal bei einer anderen Aufgabe versucht und habe das rausbekommen:




Ist die zweite Zeile auch ein Z-SF? Oder ist das falsch, weil in der letzten Zeile nur 0 rauskommen?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ob man diese Form auch als Zeilen-Stufenform bezeichnet kann ich dir nicht genau beantworten, aber ich würde mal davon ausgehen.
tasmin7 Auf diesen Beitrag antworten »

wie bekomme ich hier die Lösung raus?
also nach der Z-SF habe ich ja
für Ax=b

aber wenn ich das in die jeweiligen Gleichung einsetzte, kommt da jeweils was unterschiedliches raus:

bei der ersten Gleichung: und somit
bei der zweiten Gleichung: und somit
bei der dritten Gleichung: 7 = 4, was irgendwie nicht stimmen kann...
bei der vierten Gleichung: -2=-2, was mir leider nix sagt...

Was also ist meine Lösung??
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Dieses LGS hat unendlich viele Lösungen. Diese hängen vom Parameter z ab. Je nachdem wie du diesen wählst erhältst du eine andere Lösung.

Was du bei der ersten und zweiten Gleichung machst kann ich nachvollziehen, aber was machst du mit den Gleichungen drei und vier? Und warum machst du das?
Wieso gerade mit den Werten 0.6, 0, 7 und -2.
tasmin7 Auf diesen Beitrag antworten »

also ich hatte ja x raus. und da x ja von der variable z abhängig ist, habe ich mir schon gedacht, dass das ganze unendlich viele Lösungen hat.
aber in der Vorlesung wurde tausendmal gesagt, dass wir das in die Anfangsgleichungen als Kontrolle einsetzen sollen.

Also wollte ich x in , in usw einsetzen.
Ich hatte eigentlich erwartet, dass in der ersten Gleichung 3=3 oder so ähnliches rauskommt. Da hatte ich aber aus irgendeinen Grund z = 0.6 = x_4 raus. Und wenn ich das in x einsetze, hatte ich dann x_1, x_2 und x_3. Als ich diese Zahlen in die anderen Gleichungen eingesetzt habe, waren die Gleichungen erfüllt (logisch)...


Dann habe ich x in die zweite Gleichung eingesetzt, und da kam auf einmal z=0=x_4 raus....
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

In der ersten Gleichung sind es

Eigentlich sollte einsetzen in die letzte Gleichung reichen um dies zu prüfen.
Die erste Gleichung sollte eigentlich immer ein richtiges Ergebnis liefern. Da du diese als letztes berechnest wird hier kein Fehler auftreten, außer du hast dich ohnehin jetzt im letzten Schritt verrechnet, denn das wird ja gerade so gewählt, dass diese Gleichung aufgeht, wenn du , und einsetzt.

Wenn dir ein Fehler unterlaufen ist, dann merkst du es am ehesten in der letzten Gleichung.

Ich habe übrigens unabhängig von dir die selben Lösungen erhalten.
tasmin7 Auf diesen Beitrag antworten »

ja das mit war nur ein Tippfehler. Ich habe mit gerechnet

Wie kommt es aber, dass ich bei den Gleichungen immer was anderes rauskommt.....?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst dich irgendwie verrechnen.
Ohne Rechenweg kann ich dir nicht sagen wo der Fehler auftritt. Am besten rechnest du einfach noch einmal nach und achte darauf, dass du im Gleichungssystem nicht in den Zeilen verrutscht, oder dir ein unnötiger Vorzeichenfehler passiert.
tasmin7 Auf diesen Beitrag antworten »

aber meine Lösung

ist doch richtig, oder?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die sollte stimmen.
tasmin7 Auf diesen Beitrag antworten »

okay jetzt habe ich auch raus, das waren einfach richtig dumme dumme Fehler... unglücklich
so was darf in einer Klausur echt nicht passieren.....


Wenn die Aufgabenstellung sagt:
"Bestimme alle Lösungen des linearen GLS Ax=b"
wie habe ich die Antwort zu schreiben?

Ist dann die Antwort:



ausreichend richtig?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde sagen schon.
Vielleicht noch dazu schreiben, dass es unendlich viele sind.
tasmin7 Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar!
Vielen vielen dank noch mal für deine Hilfe!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen. Wink
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