Integralrechnung

20.12.2013, 16:20

Wissbegieriger

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Integralrechnung

Gegeben ist die Funktionenschar $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} f_a(x)=\frac{1}{2} \cdot (e^{a \cdot x}+a \cdot e^{-x});x \in \mathbf{R};a \in \mathbf{R};a \neq 0,a \neq -1 \end{eqnarray*}$

Ihr Graph sei $\begin{eqnarray*} G_a \end{eqnarray*}$ :

Die Gerade $\begin{eqnarray*} x = b; b > 0; \end{eqnarray*}$ die Koordinatenachsen und $\begin{eqnarray*} G_a \end{eqnarray*}$ begrenzen für $\begin{eqnarray*} a<-1 \end{eqnarray*}$ im
vierten Quadranten eine Fläche mit dem Inhalt $\begin{eqnarray*} A_a(b) \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} A_a(b) \end{eqnarray*}$ .
Ermitteln Sie für $\begin{eqnarray*} a = -2 \end{eqnarray*}$ den Grenzwert
$\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty} A_a(b) \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie das Volumen V des Körpers, der entsteht, wenn die von $\begin{eqnarray*} G_{-2} \end{eqnarray*}$ und
den Koordinatenachsen im dritten Quadranten eingeschlossene Fläche um die
x-Achse rotiert.

Anmerkung:
Ich möchte mich auf das zweite Semester vorbereiten und deshalb habe ich mir gedacht, schau ich mir einige Abituraufgaben zum Thema:Integralrechnung an. Wir haben die Integralrechnung noch nicht behandeln, sind gerade fertig mit der Differentialrechnung geworden.

Idee:
Eine unbekannte Funktion begrenzt die gegebene Funktion und in der Aufgabe steht, dass $\begin{eqnarray*} b>0 \end{eqnarray*}$ sein muss. Daraus kann man schlussfolgern, dass der Wert größer null sein muss, dadurch kann man die Fläche begrenzen oder das Intervall festlegen. Demnach würde gelten:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{b}~G_a(x)dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{b}~\frac{1}{2} \cdot (e^{a \cdot x}+a \cdot e^{-x})dx \end{eqnarray*}$

Integrieren habe ich noch nicht gelernt. Vielleicht könnte mir das jemand erklären smile

smile

20.12.2013, 16:35

Gast11022013

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Hmm, wenn du noch nicht integrieren gelernt hattest, dann solltest du vielleicht erst einmal an Aufgaben mit einfacheren Funktionen üben und vielleicht nicht unbedingt direkt mit einem Parameter starten.

Diese Funktion zu integrieren ist allerdings überhaupt nicht schwer.
Integrieren ist ja die Umkehrung vom ableiten.

Du musst also eigentlich das Gegenteil machen. Wir suchen eine Funktion die wenn wir sie ableiten

$\begin{eqnarray*} f_a(x)=\frac{1}{2}(e^{ax}+ae^{-x})<br /> <br /> F_a(x)=.... \end{eqnarray*}$

Betrachte dazu am besten die ausmultiplizierte Form:

$\begin{eqnarray*} f_a(x)=\frac12e^{ax}+\frac12ae^{-x} \end{eqnarray*}$

Jetzt könntest du dieses mal ableiten. Danach kannst du dir ja mal überlegen wie $\begin{eqnarray*} F_a \end{eqnarray*}$ aussehen könnte.

20.12.2013, 16:52

Wissbegieriger

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$\begin{eqnarray*} f_a(x)=\frac12e^{ax}+\frac12ae^{-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'_a(x)=0,5 \cdot a \cdot e^{a \cdot x}-0,5 \cdot a \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

Wenn ich keinen Fehler gemacht habe, dann hat sich garnichts geändert.

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{b}~(\frac12e^{ax}+\frac12ae^{-x})dx \end{eqnarray*}$

Demnach müsste die Funktion genau gleich sein oder?

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{b}~[\frac12e^{ax}+\frac12ae^{-x}]dx \end{eqnarray*}$

20.12.2013, 16:59

Gast11022013

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So hatte ich das eigentlich nicht gemeint.
Ich wollte, dass du die Funktion erst einmal ableitest, damit du vielleicht eine gewisse Systematik dahinter erkennst. Immerhin müsstest du als Stammfunktion eine Funktion finden, die das korrigiert was du beim ableiten erhältst.
Die Koeffizienten von den jeweiligen e-Teilen müssen beim integrieren also so angepasst werden, dass wenn wir die Funktion später differenzieren würden nichts ändert.

Du weißt, dass nach dem ableiten für den ersten e-Teil ein Koeffizient von

0.5a entsteht. Unsere Stammfunktion benötigt nun einen Koeffizienten, so dass wir wieder nur die 0.5 haben.

Der Koeffizient des zweiten e-Teils ist -0.5a und hier suchen wir ebenfalls einen Koeffizienten für die Stammfunktion, sodass wir auch hier nur die 0.5 als Vorfaktor haben, wenn wir es wieder ableiten.

Dafür gibt es natürlich Formeln. Man kann es sich aber auch ganz leicht selber überlegen und du kommst bestimmt drauf. Ansonsten gebe ich dir einfach die Formel.

20.12.2013, 17:13

Wissbegieriger

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$\begin{eqnarray*} f_a(x)=\frac12e^{ax}+\frac12ae^{-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'_a(x)=0,5 \cdot a \cdot e^{a \cdot x}-0,5 \cdot a \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

Wenn der Koeffizient immer in die äußere Funktion gelangt, muss man doch Theoretisch die Funktion, dann mit den Koeffzienten der inneren Funktion dividieren, damit der Wert wegfällt und man die eigentliche Funktion wiedererhält, weil an der inneren Funktion ändert sich ja garnichts oder?

Demnach gilt:

$\begin{eqnarray*} f_a(x)=\frac12e^{ax}+\frac12ae^{-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_a(x)=\frac{\frac12e^{ax}}{a}+\frac{\frac12e^{-x}}{-1} \end{eqnarray*}$

20.12.2013, 17:20

Gast11022013

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Der Exponent verändert sich nicht. Richtig.

$\begin{eqnarray*} F_a(x)=\frac{1}{2a}e^{ax}-\frac12ae^{-x}+c \end{eqnarray*}$

Wenn man eine Stammfunktion bestimmt, dann schreibt man noch eine Integrationskonstante c dahinter. Es gibt ja unendlich viele Funktionen die wir ableiten können und dann f_a erhalten würden.

Das c symbolisiert eine konstante Zahl die beim ableiten ja einfach wegfällt. Dies spielt jedoch keine Rolle wenn man die Fläche unter einer Funktion berechnet.

Das diese Stammfunktion korrekt ist, kannst du leicht überprüfen indem du sie einfach ableitest. Dann sollte möglichst das gleiche herauskommen.

Leite also

$\begin{eqnarray*} F_a(x)=\frac{1}{2a}e^{ax}-\frac12ae^{-x}+c \end{eqnarray*}$

einmal ab.

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20.12.2013, 17:30

Wissbegieriger

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$\begin{eqnarray*} F_a(x)=\frac{1}{2a}e^{ax}-\frac12ae^{-x}+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F'_a(x)=\frac{e^{a \cdot x}}{2}+\frac{1}{2} \cdot a \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

Es stimmt: Man kommt wieder auf die Ursprungsfunktion

Da wir jetzt die Stammfunktion haben, gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{b}~[\frac{1}{2a}e^{ax}-\frac12ae^{-x}+c]dx \end{eqnarray*}$

oder? smile

smile

20.12.2013, 17:36

Gast11022013

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Im Prinzip schon, aber es hapert halt an der Notation. So schreibt man das nämlich nicht auf.

Wie gesagt ist die Integrationskonstante nur wichtig wenn man Stammfunktionen allgemein bestimmt.
Wenn du explizit etwas damit berechnen willst, dann spielt sie keine Rolle, weil sie sich einfach "weg subtrahiert".
Hatte das nur der Vollständigkeit wegen erwähnt.

Notieren würde man das dann so:

$\begin{eqnarray*} \int_0^b \frac{1}{2}e^{ax}+\frac{1}{2}ae^{-x}\, dx<br /> <br /> =\left[\frac{1}{2a}e^{ax}-\frac{1}{2}ae^{-x}\right]_{0}^{b} \end{eqnarray*}$

Weißt du wie es jetzt weitergeht?

Übrigens wissen wir ja, dass wir eine Fläche im vierten Quadranten berechnen.
Wird das Ergebnis also negativ oder positiv werden?

20.12.2013, 17:50

Wissbegieriger

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$\begin{eqnarray*} \int_0^b \frac{1}{2}e^{ax}+\frac{1}{2}ae^{-x}\, dx<br /><br /> =\left[\frac{1}{2a}e^{ax}-\frac{1}{2}ae^{-x}\right]_{0}^{b}<br />\left[\left(\frac{1}{2a}e^{a \cdot b}-\frac{1}{2}ae^{-b}\right)-\left(\frac{1}{2a}e^{a \cdot 0}-\frac{1}{2}ae^{-0}\right)\right]_{0}^{b} \end{eqnarray*}$

Ich mach Fortschritte oder? smile

smile

)

positiv ist der Flächeninhalt

20.12.2013, 17:57

Gast11022013

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Wie du es notierst ist nicht ganz sauber, aber du meinst wieder das richtige.

In der letzten Zeile musst du die eckigen Klammern nun natürlich wegfallen lassen und hast nur noch:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2a}e^{ab}-\frac{1}{2}ae^{-b}-\left(\frac{1}{2a}e^{a\cdot 0}-\frac12ae^{-0}\right) \end{eqnarray*}$

Dies kannst du nun zusammenfassen.

Dafür, dass ihr Integralrechnung noch nicht hattet, ist das sehr überzeugend.

Edit:

Zitat:

positiv ist der Flächeninhalt

Warum?
Wo im Koordinatensystem liegt der vierte Quadrant.
Wann ist eine Fläche positiv und wann negativ?

Da du Integralrechnung noch nicht hattest, wirst du diese Fragen vielleicht nicht beantworten können, aber das wäre auch nicht so tragisch.

20.12.2013, 18:12

Wissbegieriger

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Vermutung:
Ich würde davon ausgehen, dass der Flächeninhalt positiv ist, weil der Flächeninhalt garnicht negativ sein kann. Die Funktion liegt im vierten Quadranten, wodurch man sagen kann, dass die Funktion positiv ist, weil die x-Achse dort positiv ist, aber die y-Achse negativ. Wir gehen doch vom Intervall [0;b] aus.

-------------------------------------------------------

Weiteres Denken

$\begin{eqnarray*} A(b)=\frac{1}{2a}e^{a \cdot b}-\frac{1}{2}ae^{-b}-\frac{1}{2a}+\frac12a \end{eqnarray*}$

Jetzt haben wir eine Funktion erstellt. Nun muss man doch für a=-2 einsetzen.

Demnach gilt:

$\begin{eqnarray*} A(b)=\frac{1}{2 \cdot (-2)}e^{-2 \cdot b}-\frac{1}{2}-2 \cdot e^{-b}-\frac{1}{2 \cdot (-2)}+\frac12 \cdot -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty} A_a(b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty} \frac{1}{2 \cdot (-2)}e^{-2 \cdot b}-\frac{1}{2}-2 \cdot e^{-b}-\frac{1}{2 \cdot (-2)}+\frac12 \cdot -2 \end{eqnarray*}$

Richtig ?

20.12.2013, 18:25

Gast11022013

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Deine Vermutung ist nicht richtig.
Ob eine Fläche positiv oder negativ ist hängt davon ab ob sie oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegt.
Alles was oberhalb der x-Achse liegt ist positiv und alles was unterhalb der x-Achse liegt ist entsprechend negativ.

In der Integralrechnung unterscheidet man dazwischen ob man ein Integral oder eine Fläche berechnen soll.
Der Unterschied ist, dass ein Integral auch negativ oder Null sein kann.

Eine Fläche hingegen, kann nicht negativ sein, bzw. sollte es nicht. Eine negative Fläche macht ja auch wenig Sinn.

Nun kann es vorkommen, dass das Ergebnis unserer Rechnung dennoch negativ ist.
Das ist aber kein Problem, denn dafür haben wir Betragsstriche. Sind dir diese bekannt?

Das würde zum Beispiel so aussehen:

|-2|=2

Der Betrag von -2 ist 2.
Betragsstriche machen das ganze also einfach positiv und wenn du in deiner Rechnung merkst, dass irgendwas negatives herauskommt, dann gehst du einfach zurück und setzt überall Betragsstriche und hast das Problem damit gelöst.

Normalerweise muss man auch vorher prüfen ob Nullstellen in einem bestimmten Intervall vorhanden sind über dem integriert wird. Jedenfalls wenn eine Fläche bestimmt werden soll. Dann musst du nämlich das Integral von Nullstelle zu Nullstelle bestimmen und negative Flächen positiv machen, weil diese sonst das Ergebnis verfälschen würden.

Deine Rechnung solle korrekt sein.
Wie kriegen wir nun den Grenzwert?

20.12.2013, 18:39

Wissbegieriger

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Ich habe mir das am Anfang auch gedacht, weil wenn man die Rechtecke einzeichnet, muss man einen negativen Wert mit einem positiven Wert multiplizieren, wodurch ein negativer Wert rauskommt. Ich war mir unsicher und deshalb habe ich die andere Vermutung aufgeschrieben^^
$\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty} -\frac{1}{4}e^{-2 \cdot b}-\frac{1}{2}-2 \cdot e^{-b}-\frac{1}{4}-1<br />\lim_{b \to \infty} -\frac{1}{4}e^{-2 \cdot 0}-\frac{1}{2}-2 \cdot e^{-0}-\frac{1}{4}-1<br />\lim_{b \to \infty} -\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-2 -\frac{1}{4}-1 \end{eqnarray*}$
A=-4

Bin mir aber relativ unsicher unglücklich

unglücklich

20.12.2013, 18:50

Gast11022013

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Zitat:

Original von Wissbegieriger

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2 \cdot (-2)}e^{-2 \cdot b}-\frac{1}{2}-2 \cdot e^{-b}-\frac{1}{2 \cdot (-2)}+\frac12 \cdot -2 \end{eqnarray*}$

Hier hattest du ein paar Multiplikationszeichen vergessen. Ich bin da aber eher von einem Tippfehler ausgegangen.
Dies scheint sich nun weiter fortgesetzt zu haben.

Wir haben ja:

$\begin{eqnarray*} A_a(b)=\frac{1}{2a}e^{ab}-\frac12ae^{-b}-\frac{1}{2a}-\frac12a \end{eqnarray*}$

Damit es übersichtlicher wird und auch leichter zum rechnen würde ich hier nun ausklammern:

$\begin{eqnarray*} A_a(b)=\frac{1}{2a}\left(e^{ab}-1\right)-\frac12a\left(e^{-b}-1\right) \end{eqnarray*}$

Ist dir klar, was ich gemacht habe?

Nun kannst du den Grenzwert recht leicht bilden.

Edit: Du solltest wenn du den Grenzwert bildest natürlich in der zweiten Zeile nicht das b einfach durch eine Null ersetzen.
b geht ja gegen Unendlich. Bloß $\begin{eqnarray*} e^{-b} \end{eqnarray*}$ wird im Grenzübergang Null.

20.12.2013, 19:10

Wissbegieriger

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Bei sovielen Gleichungen komme ich manchmal durcheinander sry ^^

$\begin{eqnarray*} A_a(b)=\frac{1}{2a}\left(e^{ab}-1\right)-\frac12a\left(e^{-b}-1\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty} A_{-2}(b)=\frac{1}{2 \cdot (-2)}\left(e^{-2 \cdot b}-1\right)-\frac12 \cdot -2\left(e^{-b}-1\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty} A_{-2}(b)=\frac{1}{-4}\left(e^{-2 \cdot b}-1\right)-1 \left(e^{-b}-1\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty} A_{-2}(b)=\frac{1}{-4}\left(e^{-2 \cdot 0}-1\right)-1 \left(e^{-0}-1\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty} A_{-2}(b)=\frac{1}{-4}\left(-1)\right)-1 \left(-1\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty} A_{-2}(b)=\frac{1}{4} -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty} A_{-2}(b)=\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

20.12.2013, 19:13

Gast11022013

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Ja, wobei du hier natürlich als Ergebnis erstmal -3/4 erhältst. Erst durch die Korrektur mit Betragsstrichen würde es positiv werden.

20.12.2013, 19:32

Wissbegieriger

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Yooo^^

Nun zum letzten Teil der Aufgabe:

Die Formel habe ich aus dem Internet, weil ich nie was davon gehört habe

$\begin{eqnarray*} V=\pi \cdot \int_{a}^{b}~f((x))^2dx \end{eqnarray*}$

Wir brauchen nun die Grenzen, die man versuchen kann, herauszufinden.

$\begin{eqnarray*} f_a(x)=\frac{1}{2} \cdot (e^{a \cdot x}+a \cdot e^{-x});x \in \mathbf{R};a \in \mathbf{R};a \neq 0,a \neq -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{-2}(x)=\frac{1}{2} \cdot (e^{-2 \cdot x}-2 \cdot e^{2x}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot (e^{-2 \cdot x}-2 \cdot e^{2x})=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-2 \cdot x}-2 \cdot e^{2x}=0 \end{eqnarray*}$

Es geht in die falsche Richtung oder?

Möchte das unbedingt drauf haben^^

$\begin{eqnarray*} ln(e^{-2 \cdot x}-2 \cdot e^{2x})=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2x \cdot 2x \cdot ln(-2 \cdot e^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4x^{2} \cdot 2 \cdot ln(-2 \cdot e) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -8x^{2} \cdot ln(-2 \cdot e)=0 \end{eqnarray*}$

20.12.2013, 19:51

Gast11022013

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Nein, so bestimmst du die Nullstellen nicht.

$\begin{eqnarray*} f_a(x)=\frac{1}{2}\left(e^{ax}+ae^{-x}\right)<br /> <br /> f_{-2}(x)=\frac{1}{2}\left(e^{-2x}-2e^{-x}\right) \end{eqnarray*}$

Wie kommt bei dir die 2 in den Exponenten des zweiten e-Teils?

Du wendest hier den Logarithmus falsch an. So geht das nicht.
Wenn du die richtige Funktion gleich Null setzt, dann bedenke, dass du

$\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ auch als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^x} \end{eqnarray*}$ schreiben kannst. Vielleicht lässt dir diese Schreibweise ja den richtigen Umformungsschritt einfallen.

20.12.2013, 20:08

Wissbegieriger

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Habe meinen Fehler gesehen smile

smile

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot (e^{-2 \cdot x}-2 \cdot e^{-x})=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot (e^{-2 \cdot x}-\frac{2}{e^{x}})=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot e^{-2 \cdot x}-\frac{1}{ \cdot e^{x}}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-2 \cdot x}=-\frac{2}{ \cdot e^{x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(e^{-2 \cdot x})=ln(-\frac{2}{ \cdot e^{x}}) \end{eqnarray*}$

oder so?

So Wie muss ich weiter verfahren ?^^

Ich wollte mich mal bei dir bedanken ; Echt qualitativ ; vielen dank

20.12.2013, 20:17

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, leider funktioniert das auch so nicht. Du wendest immer noch den Logarithmus falsch an.

Du machst das in etwa so, dass wenn du die Gleichung

$\begin{eqnarray*} a+b=1 \end{eqnarray*}$

hast und diese nun Beispielsweise quadrierst, dass du einfach Summandenweise quadrierst:

$\begin{eqnarray*} a^2+b^2=1^2 \end{eqnarray*}$

Das ist aber falsch. Richtig wäre es

$\begin{eqnarray*} (a+b)^2=1^2<br /> <br /> a^2+2ab+b^2=1 \end{eqnarray*}$

Hab das jetzt als Beispiel gewählt, weil es ein recht typischer Fehler ist.

Mit dem Logarithmus ist es genau so. Du kannst diesen nicht einfach Summandenweise anwenden, sondern musst den Logarithmus "auf die ganze Seite" anwenden. In der Regel hilft dies nichts.
Die Umkehrfunktion einer Funktion wendet man meistens erst dann an, wenn auf beiden Seiten jeweils nur noch ein Summand steht. Andernfalls dreht man sich eigentlich nur im Kreis.

Natürlich kannst du nun auch

$\begin{eqnarray*} e^{-2x} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{2x}} \end{eqnarray*}$ schreiben.

Nun hast du:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\left(\frac{1}{e^{2x}}-\frac2{e^x}\right)=0 \end{eqnarray*}$

Wenn wir mit 2 multiplizieren werden wir schon mal die 1/2 los.
Dann haben wir:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{2x}}-\frac2{e^x}=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt haben wir hier zwei Brüche. Die sind recht störend. Wie können wir diese entfernen? Bzw. entferne erst einmal nur den Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{2x}} \end{eqnarray*}$ dann regelt sich das mit dem anderem Bruch von alleine.
Und mit dem entfernen meine ich nicht, dass du jetzt einfach wieder $\begin{eqnarray*} e^{-2x} \end{eqnarray*}$ schreibst.

20.12.2013, 20:31

Wissbegieriger

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{2x}}-\frac2{e^x}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{2x}}=\frac2{e^x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1=2 \cdot e^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln\left(\frac{1}{2}\right)=ln(e^x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln\left(\frac{1}{2}\right)=x \end{eqnarray*}$

So jetzt müsste es stimmen smile

smile

20.12.2013, 20:33

Gast11022013

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Genau.
Und nun?

20.12.2013, 20:46

Wissbegieriger

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$\begin{eqnarray*} V=\pi \cdot \int_{ln\left(\frac{1}{2}\right)}^{0}~f((x))^2dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V=\pi \cdot \int_{ln\left(\frac{1}{2}\right)}^{0}~f((x))^2dx \end{eqnarray*}$
Nun können wir diese Formel anwenden.

$\begin{eqnarray*} f_a(x)=\frac{1}{2} \cdot (e^{a \cdot x}+a \cdot e^{-x}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{-2}(x)=\frac{1}{2} \cdot (e^{-2 \cdot x}-2 \cdot e^{-x}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V=\pi \cdot \int_{ln\left(\frac{1}{2}\right)}^{0}~\left[\frac{1}{2} \cdot (e^{-2 \cdot x}-2 \cdot e^{-x})\right]^2dx \end{eqnarray*}$

Nun können wir diese Formel anwenden.

Muss ich nun quadrieren?

20.12.2013, 20:55

Gast11022013

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Ja, wenn du quadrierst, dann kannst du ganz leicht wieder integrieren.

20.12.2013, 20:58

Wissbegieriger

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Gmasterflash: Können wir morgen weitermachen, weil meine Konzentration nachgelassen hat.
Ich habe heute eine Menge gelernt. Es muss verarbeitet werden. Ich muss aber noch viel besser werden. Ich werde jeden tag daran arbeiten.

20.12.2013, 21:01

Gast11022013

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Natürlich.

21.12.2013, 21:29

Wissbegieriger

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Guten Abend

$\begin{eqnarray*} V=\pi \cdot \int_{ln\left(\frac{1}{2}\right)}^{0}~\left[\frac{1}{2} \cdot (e^{-2 \cdot x}-2 \cdot e^{-x})\right]^2dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V=\pi \cdot \int_{ln\left(\frac{1}{2}\right)}^{0}~\left(\frac{1}{4}e^{-4 \cdot x}-e^{-3x}+e^{-2x}\right)dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V=\pi \cdot \left[-\frac{1}{16}e^{-4 \cdot x}+\frac{1}{3}e^{-3x}-\frac{1}{2}e^{-2x}\right]_{ln\left(\frac{1}{2}\right)} ^{0} \end{eqnarray*}$

Habe ich ein Fehler gemacht unglücklich

unglücklich

21.12.2013, 21:30

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Bisher sollte es passen.

21.12.2013, 21:41

Wissbegieriger

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ok gut

smile

$\begin{eqnarray*} V=\pi \cdot \left[-\frac{1}{16}e^{-4 \cdot x}+\frac{1}{3}e^{-3x}-\frac{1}{2}e^{-2x}\right]_{ln\left(\frac{1}{2}\right)} ^{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V=\pi \cdot \left[-\frac{1}{16}e^{-4 \cdot x}+\frac{1}{3}e^{-3x}-\frac{1}{2}e^{-2x}\right]_{ln\left(\frac{1}{2}\right)} ^{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V=\pi \cdot \left[\left(-\frac{1}{16}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right)-\left(-\frac{1}{16}e^{-4 \cdot {ln\left(\frac{1}{2}\right)}}+\frac{1}{3}e^{-3 \cdot {ln\left(\frac{1}{2}\right)}}-\frac{1}{2}e^{-2 \cdot {ln\left(\frac{1}{2}\right)}}\right)\right] \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht, wie ich den zweiten Term vereinfachen soll unglücklich

unglücklich

Habe ich die Klammern richtig gesetzt? Was hat eigentlich die eckige Klammer zu bedeuten?

21.12.2013, 21:51

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Weshalb man nun gerade eine eckige Klammer benutzt und dort die Ober und Untergrenze anschreibt kann ich dir leider nicht beantworten.

Zur Vereinfachung:

Bedenke, dass zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} 4\ln\left(\frac12\right)=\ln\left(\left(\frac12\right)^4\right) \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{16} \end{eqnarray*}$ könntest du auch anders schreiben als

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{\ln(16)}} \end{eqnarray*}$

Hier spielt man also ein wenig mit den Gesetzen.

Oder du tippst es einfach in den Taschenrechner ein.
Es kommen sehr schöne Werte raus.

21.12.2013, 22:03

Wissbegieriger

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Regeln habe ich verstanden smile

smile

Der Logaritmus naturalis und die Exponentialfunktion heben sich auf oder? Warum ist das eigentlich so? Ich möchte unbedingt die Mathematik verstehen^^

$\begin{eqnarray*} V=\pi \cdot \left[\left(-\frac{1}{16}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right)-\left(-1+\frac{8}{3}-2\right)\right] \end{eqnarray*}$

Komme auf

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{43} \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

21.12.2013, 22:06

Gast11022013

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Dein Ergebnis ist nicht richtig, aber kommt sehr nah dran.
Wie du eine Primzahl als Hauptnenner gefunden hast ist mir auch ein wenig schleierhaft. Big Laugh

Big Laugh

Deine Zwischenergebnisse sind alle richtig, nur dein Ergebnis ist falsch.

Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.
Sie verhalten sich also zueinander wie es auch quadrieren und wurzelziehen machen.

21.12.2013, 22:12

Wissbegieriger

Auf diesen Beitrag antworten »

Komme nun auf $\begin{eqnarray*} \frac{5}{48} \end{eqnarray*}$

Muss ich noch irgendetwas mit dem $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ?

21.12.2013, 22:14

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ergebnis musst du natürlich noch mit $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ multiplizieren

$\begin{eqnarray*} V=\frac{5\pi}{48} \end{eqnarray*}$

Wenn du dann keine Fragen mehr hast, wären wir mit der Aufgabe nun fertig.
smile

smile

21.12.2013, 22:17

Wissbegieriger

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Ich habe keine Fragen Freude

Freude

Ich habe ganz viel gelernt und dafür möchte ich mich bei dir bedanken und dass du soviel Geduld mit mir hattest smile

smile

Ich werde mir morgen eine andere Aufgabe zum Thema: Integralrechnung ankucken und wenn ich Probleme haben sollte, dann melde ich mich mal wieder^^

Vielen Dank Freude

Freude

21.12.2013, 22:18

Gast11022013

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Gern geschehen.

Edit:

Und damit die Formel zum integrieren von Funktionen wie hier in der Aufgabe auch noch explizit genannt wird:

$\begin{eqnarray*} \int e^{ax+b}\,dx=\frac{1}{a}e^{ax+b}+c \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$

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