Linearisierung von DGL

20.12.2013, 19:21

Der Lustige Peter

Linearisierung von DGL

Liebes Matheboard,

Mich beschäftigt gerade die Linearisierung von Differentialgleichngen. Spezifisch plage ich mich mit folgender Aufgabe herum:

Zitat:

Untersucht wird die lineare Stabilität von $\begin{eqnarray*} x(t)=\sin(2 \pi t) \end{eqnarray*}$ der Differentialgleichung
$\begin{eqnarray*} x'=-x^3+\sin^3(2 \pi t) + 2 \pi \cos(2 \pi t) \end{eqnarray*}$
a) Mache den Ansatz $\begin{eqnarray*} x=\sin(2 \pi t) + y \end{eqnarray*}$ und leiten sie die Differentialgleichung her, der $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ genügt, falls $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Lösung der obigen Differentialgleichung ist.
b) Durch Linearisierung der Differentialgleichung für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ um die Lösung $\begin{eqnarray*} y(t) = 0 \end{eqnarray*}$ beweise man die Stabilität der Lösung $\begin{eqnarray*} x(t)=\sin(2 \pi t) \end{eqnarray*}$

Die Teilaufgabe a) ist ja eine einfache Substitution. Sie führt, wenn ich mich nicht verrechnet habe, zu folgendem Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} y'=-3\sin(2 \pi t)y-3\sin(2 \pi t)y^2-y^3 \end{eqnarray*}$

Wie muss ich jetzt aber in Teilaufgabe b) von hier aus weiterarbeiten? Muss ich die Differentialgleichung Taylorentwickeln?
Jeder Hinweis ist mir sehr willkommen!

Lieben Gruß
Peter

Neue Frage »

Antworten »

Linearisierung von DGL

Verwandte Themen