Kongruenz (Zahlentheorie)

21.12.2013, 21:30

MathLee

Kongruenz (Zahlentheorie)

Hallo liebe Community,

wäre jemand so lieb und würde mir Kongruenz erklären?
Aber nicht von der Geometrie, sondern Zahlentheorie.
Und bitte in eigenen Worten mit Beispiele wenn's geht.

Danke im Voraus.

21.12.2013, 22:28

Der Lustige Peter

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RE: Kongruenz (Zahlentheorie)
Guten Abend, MathLee,

Ich kann gerne versuchen, Dir weiterzuhelfen. Leider sind mir Deine Angaben zu unspezifisch. Auf welchem Niveau und ich welchem Detailgrad willst Du es denn erklärt haben?
Wirf soch bitte einen Blick auf diesen Wikipedia-Eintrag, den ich ganz gut finde:
Wikipedia: Kongruenz
Dann schreibe mir bitte genau, wo Du etwas erklärt haben möchtest.

Viele Grüße
Peter

21.12.2013, 22:37

MathLee

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Soweit ich das verstanden habe, sind zwei Zahlen Kongruent, wenn sie einen gemeinsamen Divisor haben, wo der Rest gleich ist, oder?
Aber z.B versteh ich nicht: -8 : 6 = -2 ; Rest 4?
Oder den Begriff "Modul". Was ist damit gemeint?

25.12.2013, 04:33

Der Lustige Peter

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Lieber MathLee,

Modulo kann man glaube ich am besten an einer Uhr veranschaulichen. Eine Uhr funktioniert Modulo 12. Modulo 12 heißt ganz einfach erstmal, dass Du bis 11 zählst und dann statt 12 wieder mit 0 anfängst. 11 Uhr ist 23 Uhr Modulo 12. 11=23 mod 12. beides entspricht aber auch einer Stunde vor 12 Uhr, also -1. Es folgt also -1=11=23 mod12.
Kannst Du das jetzt für 4 Uhr machen? Wenn Du das schaffst, kann ich weiter erklären.

Gruß Peter

25.12.2013, 09:25

MathLee

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-8=4=16 mod12 ?

26.12.2013, 16:21

Der Lustige Peter

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Gut!

Allgemeiner kann man jetzt sagen, dass alle Zahlen die Form $\begin{eqnarray*} a+k*12 \end{eqnarray*}$ haben. $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist dabei eine Zahl zwischen 0 und 11 und k eine beliebige Zahl aus den ganzen Zahlen.
Fangen wir mal bei 1 an zu zählen:
$\begin{eqnarray*} 1=1 + 0*12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2=2 + 0*12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3=3 + 0*12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4=4 + 0*12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5=5 + 0*12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 6=6 + 0*12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 7=7 + 0*12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 8=8 + 0*12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 9=9 + 0*12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 10=10 + 0*12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 11=11 + 0*12 \end{eqnarray*}$
und jetzt wird es interessant:
statt $\begin{eqnarray*} 12=12 + 0*12 \end{eqnarray*}$ schreiben wir: $\begin{eqnarray*} 12=0 + 1*12 \end{eqnarray*}$
und zählen weiter:
$\begin{eqnarray*} 13=1 + 1*12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 14=2 + 2*12 \end{eqnarray*}$
etc.
Jetzt tun wir so, als ob uns nur die Zahl vor dem $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ -Zeichen interessiert. Alle Zahlen, die die gleiche Zahl vor dem $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ -Zeichen stehen haben, bezeichnet man dann als kongruent Modulo 12.
$\begin{eqnarray*} -23=1-2*12 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} -11=1-1*12 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 1=1+0*12 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 13=1+1*12 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 25=1+2*12 \end{eqnarray*}$ , etc. sind alle kongruent mod12.
Hast Du soweit Fragen?

Gruß Peter

26.12.2013, 16:48

MathLee

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Zitat:

Original von Der Lustige Peter
und zählen weiter:
$\begin{eqnarray*} 13=1 + 1*12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 14=2 + 2*12 \end{eqnarray*}$
etc.

Muss das nicht heißen $\begin{eqnarray*} 14=2 + 1*12 \end{eqnarray*}$ ?

Aber sonst habe ich bis jetzt alles verstanden.

27.12.2013, 03:40

Der Lustige Peter

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Ja, Du hast recht. Es muss 14=2+1*12 heißen.
Im Wesentlichen hast Du jetzt glaube ich die wesentlichen Grundzüge verstanden. Was Dir jetzt noch fehlt, ist der Schritt in die Abstraktion, sprich: weg von mod 12 hin zu allgemeinen Restklassen. Also:
Was ich Dir für mod 12 erklärt habe, gilt natürlich auch allgemein für andere Zahlen. Man kann jede Zahl a modulo einer anderen Zahl betrachten. Soweit sollte alles klar sein, oder?
Kommen wir jetzt zum Teilen:
Betrachten wir nochmal die Gleichung 14=2+1*12. Teilen wir nun diese Gleichung durch 12. das ergibt:
14/12=2/12+1 oder in anderen Worten. 14:12=1 Rest 2. Siehst Du den Zusammenhang?

27.12.2013, 08:36

MathLee

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Wieso Rest 2? Müsste das nicht 1/6 sein?

27.12.2013, 10:33

DerJoker

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Hallo,

sicherlich erinnerst du dich noch an deine Zeit in der Grundschule. Da hat man die Division mit Rest behandelt. Das ist hier eigentlich nichts anderes.
Es ist 14 = 12*1 +2. Es ist also 14 = 2 (modulo 12). Man rechnet hierbei immer nur mit ganzen Zahlen. Das erklärt dann auch deine Frage zu den 1/6. Ist 1/6 eine ganze Zahl?

Schönen Gruß,
DerJoker

27.12.2013, 10:53

MathLee

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Ja klar.