Idee Fourier-Reihen

22.12.2013, 14:36

folker

Idee Fourier-Reihen

Hallo,
ich habe eine Frage zu Fourier-Reihen.
Die Idee hinter den Fourier-Reihen ist doch, dass sich periodische Funktion als Linearkombination von Sinus und Cosinus schreiben lassen.

Ich bin mir jetzt nicht ganz sicher, aber ich glaube, dass Cosinus und Sinus jetzt die Basis eines Vektorraums aufspannen, der die trigonometrischen Polynome umfasst.

Diese sind jetzt im L^2-Skalarprodukt für Funktionen senkrecht zueinander. Meine Frage ist jetzt, warum gerade dieses Skalarprodukt und kein anderes? Und sind alle Skalarprodukte gleichwertig zueinander? D.h., wenn sie nach einem Skalarprodukt senkrecht zueinander stehen, tun sie das dann auch nach jedem anderen?

Viele Grüße,

folker

23.12.2013, 16:24

system-agent

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RE: Idee Fourier-Reihen

Zitat:

Original von folker
Die Idee hinter den Fourier-Reihen ist doch, dass sich periodische Funktion als Linearkombination von Sinus und Cosinus schreiben lassen.

Ja, das kann man so sagen.

Zitat:

Original von folker
Ich bin mir jetzt nicht ganz sicher, aber ich glaube, dass Cosinus und Sinus jetzt die Basis eines Vektorraums aufspannen, der die trigonometrischen Polynome umfasst.

Eher stellt man fest, dass die ganzen Sinus- und Cosinusfunktionen alle im Vektorraum $\begin{eqnarray*} L^2((0,2\pi)) \end{eqnarray*}$ sitzen und damit natürlich auch der Unterraum, der von all diesen Funktionen erzeugt wird [was dem Raum der trigonometrischen Polynome entspricht].

Zitat:

Original von folker
Diese sind jetzt im L^2-Skalarprodukt für Funktionen senkrecht zueinander. Meine Frage ist jetzt, warum gerade dieses Skalarprodukt und kein anderes?

Weil das das Standardskalarprodukt auf dem $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Original von folker
Und sind alle Skalarprodukte gleichwertig zueinander? D.h., wenn sie nach einem Skalarprodukt senkrecht zueinander stehen, tun sie das dann auch nach jedem anderen?
folker

Nein, das muss nicht sein. Du kannst auch gewichtete Skalarprodukte betrachten, bei denen die dann nicht mehr orthogonal sind. Ein gewichtetes Skalarprodukt auf $\begin{eqnarray*} L^2((0,2\pi)) \end{eqnarray*}$ ist zum Beispiel wie folgt gegeben: Sei $\begin{eqnarray*} w: [0,2\pi]\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ eine stetige Funktion mit $\begin{eqnarray*} w(x)>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in(0,2\pi) \end{eqnarray*}$ . Dann definiert
$\begin{eqnarray*} (u,v)\mapsto\int\limits_0^{2\pi}w(x)u(x)v(x)\,dx \end{eqnarray*}$ auch ein Skalarprodukt auf $\begin{eqnarray*} L^2((0,2\pi)) \end{eqnarray*}$ .

25.12.2013, 12:02

folker

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hey sistem-agent,

danke für deine Antwort. Die bringt mich wirklich weiter!

Ich meine das jetzt halbwegs verstanden zu haben und sitze gerade an der Herleitung zu den Formeln für die Fourier-Koeff's. Dabei hatte ich nochmal ein Problem:

Sei f eine p-periodische Funktion, die sich durch eine "linearkombination" von sinus und Cosinus darstellen lässt d.h.:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k \exp \left({\frac{i2 \pi k x}{p}}\right) \quad (*) \end{eqnarray*}$

Integriert man nun auf beiden Seiten von 0 bis p gilt :

$\begin{eqnarray*} \int_0^p f(x) dx= \int_0^p \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k \exp \left({\frac{i2 \pi k x}{p}}\right) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int_0^p f(x) dx= \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_0^p c_k \exp \left({\frac{i2 \pi k x}{p}} \right) dx \end{eqnarray*}$

Das ist der Ansatz, den ich verfolge. Jetzt ist das Problem, dass die Integrale alle 0 sind, denn:
$\begin{eqnarray*} \int_0^p c_k \exp\left({\frac{i2 \pi k x}{p}} \right) dx=[\frac{p}{i 2\pi k} \cdot \exp \left({\frac{i2 \pi k x}{p}} \right)]_0^p=\frac{p}{i 2\pi k}-\frac{p}{i 2\pi k}=0 \quad \forall k \end{eqnarray*}$

Ich glaube, dass das Problem im Ansatz zur Herleitung liegt. Aber ich weiß icht genau, wo es liegen könnte. Evtl. muss ich davor noch bei (*) auf beiden Seiten um irgendwas erweitern. Dann stellt sich mir aber die Frage, wie man auf die Idee dazu kommen könnte.

Viele Grüße und schon mal danke schön,

folker

25.12.2013, 12:38

folker

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RE: Idee Fourier-Reihen
Aaah, ich habs jetzt raus! Danke schön!

Eine letzte Frage bleibt noch in Bezug auf eine deine Antworten:

Zitat:

Original von system-agent

Zitat:

Original von folker
Diese sind jetzt im L^2-Skalarprodukt für Funktionen senkrecht zueinander. Meine Frage ist jetzt, warum gerade dieses Skalarprodukt und kein anderes?

Weil das das Standardskalarprodukt auf dem $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ ist.

Ich habe das ganze auch einen Kommilitonen gefragt und der sagte, dass man, um mathematische Probleme zu lösen, sich gerade irgendein Skalarprodukt auswählen kann, das am besten geeignet ist. D.h. es wäre hier durchaus auch möglcih gewesen ein anderes Skalarprodukt zu wählen, das auf L^2 definiert ist, aber möglicherweise wäre ich damit nicht zum Ziel gekommen. Hat er damit Recht?

Denn wenn nicht alle Skalarprodukte zum gleichen Ergebnis führen, könnte es ja schon einen deutlichen Unterschied machen, welches ich auswähle.

Viele Grüße,

folker

12.01.2014, 21:51

system-agent

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Du kannst natürlich ein beliebiges Skalarprodukt auf $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ anschauen, nur dann gehen eben [zumindest sehr wahrscheinlich] viele gute Eigenschaften verloren. Zum Beispiel dass die betrachteten Funktionen auf einmal nicht mehr orthonormal sind. Das ist prinzipiell zwar kein Problem, aber du musst dir dann eben andere Funktionen ausdenken welche die gewünschten Eigenschaften besitzen. Da stellt sich dann natürlich auch die Frage ob es überhaupt passende Funktionen gibt oder nicht.

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