Gleichung für das Pascal'sche Dreieck nachrechnen

22.12.2013, 17:22	Midna	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung für das Pascal'sche Dreieck nachrechnen Hallo, ich verzweifle dabei, folgende Gleichung nachzuvollziehen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n \\ k-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (Das Pascal'sche Dreieck und was diese Gleichung aussagt, verstehe ich.) Im Skript sieht der Beweis wie folgt aus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ k-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=\frac{n!}{(k-1)!(n+1-k)!}+\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n!(k+n+1-k)}{k!(n-k)!}=\frac{n!(n+1)}{k!(n-k)!}=\frac{(n+1)!}{k!(n-k)!}=\begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Summe nach dem ersten Gleichheitszeichen verstehe ich noch, aber beim Bruch nach dem zweiten Gleichheitszeichen versage ich völlig. Meiner Meinung nach müsste man den Nenner des ersten Summanden auf $\begin{eqnarray} k!(n-k)! \end{eqnarray}$ bringen. Habe ich auch gemacht, aber es bleibt immer ein $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ übrig. Es ist $\begin{eqnarray} (k-1)!=\frac{k!}{k} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (n+1-k)!=(n-k)(n-k)! \end{eqnarray}$ und somit: $\begin{eqnarray} \frac{n!}{(k-1)!(n+1-k)!}=\frac{n!}{\frac{n-k}{k} k!(n-k)!}=\frac{n! \frac{k}{n-k}}{k!(n-k)!} \end{eqnarray}$ Also folgt: $\begin{eqnarray} \frac{n!}{(k-1)!(n+1-k)!}+\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n! \frac{k}{n-k}+n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray}$ Aber wie ich von $\begin{eqnarray} n! \frac{k}{n-k}+n! \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} (n+1)! \end{eqnarray}$ kommen soll, ist mir rätselhaft. Kann mir jemand helfen?
22.12.2013, 17:43	Hoodaly	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung für das Pascal'sche Dreieck nachrechnen Hallo, es ist $\begin{eqnarray} (n+1-k)!=(n+1-k)\cdot(n-k)! \end{eqnarray}$ . Ich weiß nicht, ob das bereits dein Denkfehler ist, aber möglich wär's. Viele Grüße, Hoodaly
24.12.2013, 19:37	Midna	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung für das Pascal'sche Dreieck nachrechnen Okay, stimmt. Aber das macht mein Ergebnis auch nicht besser, ein k bleibt immer übrig.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »