Differentialgleichungen mit unterschiedlichem Argument |
| 22.12.2013, 17:33 | Hoodaly | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Differentialgleichungen mit unterschiedlichem Argument gibt es eine Möglichkeit, Gleichungen der Form zu lösen? Haben solche Gleichungen einen Namen wie "nichtlineare DGL zweiter Ordnung" oder so ähnlich? Leider habe ich keinen Ansatz, da ich bisher noch nicht viel über Differentialgleichungen weiß. Viele Grüße, Hoodaly |
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| 22.12.2013, 18:33 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Unterschiedliche Argumente bei Funktion und Ableitung in derselben Gleichung sind mir bei DGL noch nie begegnet, vermutlich weil die Anwendungsrelevanz derartiger Konstrukte sehr begrenzt ist. Wie auch immer, ich würde diese Kreuzung aus Differential- und Funktionalgleichung dann Funktionaldifferentialgleichung oder vielleicht auch Differentialfunktionalgleichung bezeichnen. 
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| 22.12.2013, 19:17 | robert dev zero | Auf diesen Beitrag antworten » |
| zunächst Rückfrage zum Ableitungsweg Hallo @Hoodaly, mir fehlt da eine genauere Definition von . Bevor ich diese Frage verallgemeinert für beliebige n betrachten würde, sehe ich mir mal das einfachste nichttriviale n, also n=2, an: Es sei also gegeben. Nun nehme ich an, dass mit meinem Ansatz etwas Brauchbares herauskommt, nachdem ich ihn in die Differentialgleichung hineingegeben habe. Es sei zunächst egal, ob der Ansatz überhaupt zur Lösung taugt. Dann stehe ich auf jeden Fall vor der Frage, wie ich f'(2x) bilden soll: Auf Weg A oder auf Weg B? Ableitungsweg A) Soll ich nach x ableiten? Ableitungsweg B) Oder soll ich nach 2x ableiten, indem ich erstmal 2x=t substituiere, dann f(t) = a t² + b t + c nach t ableite, dadurch f'(t) = 2a t + b erhalte und nach der Resubstitution f'(2x) = 4a x + b bekomme? Wie schon geschrieben: Der quadratische Term soll kein Ansatz sein, der bis zur Lösung standhält, er dient hier exemplarisch meiner Gegenfrage: Welche Reihenfolge soll bei der Bildung von f'(2x) gelten? Zur Frage nach der Bezeichnung: Zum Beispiel ist (2x+x²) (f(x))³ + 3x²(f(x))² f'(x) = 0 eine Differentialgleichung erster Ordnung, weil die erste Ableitung von f die höchste Ableitung von f ist. Sie ist nichtlinear, weil die höchste vorkommende ganzzahlige Potenz von f nicht nur die erste Potenz ist (IIRC kann man sie dann nach der höchsten Potenz (hier 3) bezeichnen als "... 3. Grades"). Eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung ist z. B. f''(x) = -x³. |
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| 22.12.2013, 23:41 | robert dev zero | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Rückfrage zum Ableitungsweg: erledigt Meine Frage nach dem Weg auf dem die Ableitung zu erreichen ist, hat sich erledigt. Bei Ableitungsweg B habe ich die Kettenregel unbeachtet gelassen: Wenn man nach Substitution zu f(t) = a t² + b t + c gelangt ist und t=2x als Funktion t(x)=2x mit Ableitung t'(x)=2 auffasst, dann ergibt sich nach der Kettenregel f'(t(x))=f'(t) t'(x): f'(2x) = (4a x + b) * 2, was dasselbe ist wie das Ergebnis von Ableitungsweg A: Die Ableitung von f(2x) = 4a x² + 2 b x + c ist f'(2x) = 8ax + 2b. Dies gilt ebenso für den Ansatz f(x) = ax³ + bx² + cx + d und vermutlich für alle Potenzansätze. @Hoodaly: Da die Anzahl der Suchmaschinentreffer für die von (thx @) HAL 9000 genannten Bezeichnungen 'Funktionaldifferentialgleichung' deutlich höher ist als diejenige für 'Differentialfunktionalgleichung', empfehle ich eine Suche nach 'Funktionaldifferentialgleichung', um diese Materie tiefer zu erschließen. |
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| 22.12.2013, 23:48 | Hoodaly | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Rückfrage zum Ableitungsweg: erledigt Danke für die Antworten. Google ist ja nicht sehr hilfreich, wenn man versucht, Formeln einzugeben 
Aber Funktionaldifferentialgleichungen scheint das richtige Wort zu sein, ich werde etwas dazu lesen. Schönen Abend, Hoodaly |
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