rekursive Bildungsvorschrift

23.12.2013, 13:33

15L

rekursive Bildungsvorschrift

Hi,

ich bin im 1. semester 2fach mathe und soll aus der bildungsvorschrift

$\begin{eqnarray*} 2(2n-3)a_n=na_{n+1} \end{eqnarray*}$

folgern, dass $\begin{eqnarray*} a_n= \frac{1}{n-1} \begin{pmatrix} 2n-4 \\ n-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist.

vorraussetzungen hierbei sind $\begin{eqnarray*} a_n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n\geq 3 \end{eqnarray*}$ .

mein ansatz ist, dass wenn die bildungsvorschrift gilt, gilt auch

$\begin{eqnarray*} 2(2n-5)a_{n-1}=(n-1)a_n \end{eqnarray*}$ und damit

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{2(2n-5)a_{n-1}}{n-1} \end{eqnarray*}$ .

jetzt komme ich allerdings nicht weiter. zu zeigen wäre ja nur noch, dass $\begin{eqnarray*} 2(2n-5)a_{n-1}=\begin{pmatrix} 2n-4 \\ n-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist.

23.12.2013, 13:48

klarsoweit

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RE: rekursive Bildungsvorschrift
Ich würde es mit vollständiger Induktion versuchen, allerdings fehlt mir bei der rekursiven Bildungsvorschrift der Anfangswert.

23.12.2013, 14:53

15L

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RE: rekursive Bildungsvorschrift
also die anfangswerte sind $\begin{eqnarray*} a_1=a_2=0,a_3=1 \end{eqnarray*}$ .

versuche ich also induktion:

anfang: n=3
$\begin{eqnarray*} 1=a_3=\frac{1}{2} \cdot 2= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

voraussetzung:
beh. gelte für ein festes n.

schritt von n auf n+1:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac{2(2n-3)a_n}{n}=\frac{1}{n} \frac{2(2n-3)}{n-1} \begin{pmatrix} 2n-4\\ n-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{n} \frac{2(2n-3)}{n-1} \frac{(2n-4)!}{(n-2)!(n-2)!} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{n} \frac{2(2n-3)!}{(n-1)!(n-2)!} \end{eqnarray*}$

ab hier komme ich nicht weiter. der zweite bruch müsste ja irgednwie zu
$\begin{eqnarray*} \frac{(2n-2)!}{(n-1)!(n-1)!}= \begin{pmatrix} 2n-2\\ n-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ werden.

23.12.2013, 15:03

15L

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RE: rekursive Bildungsvorschrift
das problem ist, dass ich das nicht in die form kriege. ich muss ja zB. die 2 irgendwie los werden.

der wurde definiert als
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} =\frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$

23.12.2013, 15:06

klarsoweit

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RE: rekursive Bildungsvorschrift

Zitat:

Original von 15L
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{n} \frac{2(2n-3)}{n-1} \frac{(2n-4)!}{(n-2)!(n-2)!} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{n} \frac{2(2n-3)!}{(n-1)!(n-2)!} \end{eqnarray*}$

Diese Umformung kann ich nicht nachvollziehen.

EDIT: Ah, Moment, jetzt hab ich's gesehen. Hm, dann muß ich auch mal nachdenken. Muß mich jetzt aber leider ausklinken.

EDIt2: die Erweiterung mit (2n-2) könnte vielleicht helfen.

23.12.2013, 15:17

15L

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RE: rekursive Bildungsvorschrift
ich danke Dir!

Zitat:

EDIt2: die Erweiterung mit (2n-2) könnte vielleicht helfen.

Funktionier! smile

schöne feiertage wünsche ich!

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