Gebrochen - rationale Funktionen "schneller" ableiten

23.12.2013, 13:48

Rivago

Gebrochen - rationale Funktionen "schneller" ableiten

Hallo

Wenn man gebrochen - rationale Funtkionen über die Quotientenregel ableitet, hat man ja immer einiges zum schreiben. Die erste Ableitung geht ja noch, aber dann 2. und 3. dauert schon etwas.

Habt ihr einen "Trick" damit das schneller geht?

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{3}{4x - 2} \end{eqnarray*}$

Das geht ja schön abzuleiten, indem man den Nenner nach oben holt.

$\begin{eqnarray*} f(x) = 3 \cdot (4x - 2)^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = -3 \cdot (4x - 2)^{-2} \cdot 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = - \frac{12}{(4x - 2)^{2}} \end{eqnarray*}$

Kann man sowas auch machen, wenn die Funktion so aussieht?

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{2x^2 - 5x + 3}{2x -1} \end{eqnarray*}$

Oder muss man da tatsächlich immer den umständlichen, langen Weg gehen?

Frohe Weihnachten wünsch ich euch Augenzwinkern

23.12.2013, 13:57

Equester

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Die Quotientenregel ist letztlich nichts anderes als die Produktregel Augenzwinkern

.
Es geht also immer beides (wenn überhaupt).

Auch mit dem Arbeitsaufwand wird das keinen allzu großen Unterschied machen. Bei der Anwendung der Produktregel bekommst du halt zwei Brüche, die sogar erst noch auf einen Bruchstrich geschrieben werden müssen (bei konstantem Zähler entfällt der Part natürlich).

Die Quotientenregel gibt es nicht umsonst. Ich würde wohl bei dieser bleiben, auch wenn du Recht hast, was die Sache bei konstantem Zähler angeht smile

23.12.2013, 13:57

klarsoweit

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RE: Gebrochen - rationale Funktionen "schneller" ableiten
Nun ja, man könnte (in diesem Fall) noch eine Polynomdivision mit Rest machen. smile

23.12.2013, 16:00

Rivago

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Ok, ich danke euch smile

Dann werde ich auch bei der Quotientenregel bleiben. Wink

04.01.2014, 16:15

Rivago

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Um nicht extra ein neues Thema zu machen, schreib ich es hier mal mit rein.

Die Funktion lautet:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{2x - 3}{x^{2}-4} \end{eqnarray*}$

Die erste Ableitung ist:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{-2x^{2} + 6x -8}{(x^{2}-4)^{2}} \end{eqnarray*}$

Die zweite Ableitung ist:

$\begin{eqnarray*} f''(x) = \frac{4x^{3} - 18x^{2} + 48x -24}{(x^{2}-4)^{3}} \end{eqnarray*}$

Und bei der dritten Ableitung hab ich:

$\begin{eqnarray*} f'''(x) = \frac{-12x^{4} + 72x^{3} - 288x^{2} -192}{(x^{2}-4)^{4}} \end{eqnarray*}$

Habe jeweils $\begin{eqnarray*} x^{2}-4 \end{eqnarray*}$ ausgeklammert und mit dem Nenner gekürzt. Bei der dritten Ableitung hab ich jetzt mal die Probe gemacht und für x 3 eingesetzt. Einmal in der langen, nicht ausgeklammerten Version, und einmal in der Formel, die hier steht. Aber es kommen unterschiedliche Ergebnisse bei raus.

Hab ich irgendwo was falsch im Taschenrechner eingegeben oder ist die 3. Ableitung so falsch? Habe jetzt mehrmals durchgeguckt, aber finde absolut keinen Fehler.

Wink

Habe den Fehler gefunden. War ein Vorzeichenfehler; somit fiel x raus, aber eig mussten es 288x sein. Augenzwinkern

Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} f'''(x) = \frac{-12x^{4} + 72x^{3} - 288x^{2} +288x -192}{(x^{2}-4)^{4}} \end{eqnarray*}$

04.01.2014, 19:07

Equester

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Du kannst gerne für ne neue Frage nen neuen Thread aufmachen Augenzwinkern

.
Bekommste auch schneller ne Antwort.

Aber du hast den Fehler ja ohnehin selbst gefunden. Das Gesagte ist richtig Freude

04.01.2014, 20:07

original

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Zitat:

Original von Rivago

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{2x - 3}{x^{2}-4} \end{eqnarray*}$

du könntest diese Aufgabe auch zuerst so darstellen :

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{4} \cdot \left[\frac{1}{x-2}+\frac{7}{x+2} \right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{4}\cdot (x-2)^{-1} + \frac{7}{4}\cdot (x+2)^{-1} \end{eqnarray*}$

und dann - wie in deinem allerersten Beispiel - alle
Ableitungen sofort problemlos notieren ..

smile

04.01.2014, 20:09

sulo

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Hallo original,

ich möchte dich darauf aufmerksam machen, dass du in diesem Thread: Vereinfachen von Brüchen in Gleichungen noch eine öffentliche Entschuldigung abzuliefern hast.
Dies kann auch durch ein mehrmonatiges Wegducken nicht umgangen werden.

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