Integration von f(x) = (1-x²)/((1+x²))²

23.12.2013, 16:22

Haramune

Integration von f(x) = (1-x²)/((1+x²))²

warum ergibt f(x) = (1-x²)/((1+x²))²
F(x) = x/1+x² ??
Ich habs jetzt die ganze zeit versucht das mit der Substitution hinzukriegen. Bei der vorigen Aufgabe hab ichs noch hingekriegt:
3/(4x+1) dx => z=4x+1
(3)/(z) * 1/4dz [dx=1/4dz]
=> (3)/(4) * Integral 1/z dz
= (3)/(4)ln (4x+1)

Das leigt vielleicht an dem doppelten Exponenten im Nenner, womit ich nicht klar komme.
Es wäre super wenn jemand es hier hinklatschen würde wie er oder sie das schreiben würde, also ohne Buchstabensuppe und Formeln. Danke im Voraus smile

EDIT: Ok ich habs mit dem latex Code und dem andeen Code versucht, aber kann einafch die Brüche nicht hinkriegen...

23.12.2013, 20:36

grosserloewe

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RE: Kann mir jemand den Lösungweg für diese Integration verraten?
Wink

Komplettlösungen sind hier verboten, aber Du kannst ja Mal anfangen , dann helfe ich weiter. Schreib Deine Schritte bitte hier hin.Dann sehe ich mögliche Fehler und kann helfen.

Wenn es um diese Aufgabe geht:

$\begin{eqnarray*} \frac{1-x^2}{(1+x^{2})^2 } \end{eqnarray*}$

Hier kannst du die Aufgabe z.B. mit Partialbruchzerlegung lösen:

folgender Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \frac{Ax+B}{(1+x^2)^2} + \frac{Cx+D}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

Du spaltest das Integral in 2 Integrale auf, wobei das eine Integral ein Grundintegral ist
und das andere durch Substitution zu lösen geht.

23.12.2013, 23:32

Haramune

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RE: Kann mir jemand den Lösungweg für diese Integration verraten?
hmm... und was soll A B C D sein?
Ich hab hier nicht umsonst gepostet, das wird ehuete einfach nichts mehr und muss noch die tage Komplexe Zahlen lernen...

24.12.2013, 09:37

grosserloewe

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RE: Kann mir jemand den Lösungweg für diese Integration verraten?
Wink

Wir haben hier für den Nenner mehrfache komplexe Nullstellen.
Deswegen so der Ansatz .

Schauh mal unter 4.3 komplexe Nullstellen:

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=445212

da siehst Du , welche Bedeutung A B C und D haben

2.Weg:

ist auch ohne PZB Zerlegung möglich, allerdings mit Trick:

$\begin{eqnarray*} = -\int \frac{x^2-1}{(x^{2}+1)^2 } \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = - \int \frac{x^{2}+1 -2 }{(x^{2}+1)^2 } \, dx \end{eqnarray*}$

dann erfolgt eine Aufteilung in 2 Integrale:

das 1. Integral ist nach Kürzen ein Grundintegral.
Beim 2. Integral muß, wie beim 1. Weg

$\begin{eqnarray*} x= tan z \end{eqnarray*}$

substituiert werden.

24.12.2013, 15:32

MathLee

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Wieso kann man den Ansatz nicht wählen?

$\begin{eqnarray*} f(x) \ = \ \frac{1 \ - \ x^2}{(\ 1 \ + \ x^2)^2} \ \ = \ (1 \ - \ x^2) \ \cdot \ (1 \ + \ x^2)^{-2} \end{eqnarray*}$

24.12.2013, 15:33

Haramune

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RE: Kann mir jemand den Lösungweg für diese Integration verraten?
hmm, ok danke. Ich habs mit etwas Hilfe vom Komilitoren hingekriegt, kann das jetzt smile

Thema kann geschlossen werden

EDIT: Ah und vielen Dank großerLöwe für die Hilfe, hat mich echt weiter gebracht Wink

28.12.2013, 20:06

Bjoern1982

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Zitat:

Wieso kann man den Ansatz nicht wählen?

$\begin{eqnarray*} f(x) \ = \ \frac{1 \ - \ x^2}{(\ 1 \ + \ x^2)^2} \ \ = \ (1 \ - \ x^2) \ \cdot \ (1 \ + \ x^2)^{-2} \end{eqnarray*}$

Inwiefern ist das ein Ansatz ? Du schreibst doch nur den Funktionsterm etwas um.
Was würdest du denn danach tun, um das Wesentliche, nämlich die Integration, durchzuführen ?

28.12.2013, 20:34

MathLee

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Man müsste ja quasi Produkt- und Kettenregel anwenden, aber das ist ja deutlich schwerer als das Integral aufzuteilen.

28.12.2013, 20:38

Bjoern1982

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Dass man Produkt- und Kettenregel eher zum Ableiten braucht ist dir offenbar nicht bewusst ?
Hier geht es ums Integrieren, nicht ums Ableiten.

28.12.2013, 20:49

MathLee

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Ja aber muss diese Regel doch sozusagen "umgekehrt" anwenden.

28.12.2013, 21:03

Bjoern1982

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Welche Regel und wie genau meinst du das, drücke dich bitte klar aus.
Du reimst dir da glaube ich wieder mal irgendwas zusammen.
Es gibt bei Ableitungen bestimmte Ableitungsregeln und beim Integrieren bestimmte Integrationsregeln.
Sobald du letztere drauf hast, kannst du bei diesem Thema mitreden - vorher eher nicht.
Mit welchen Regeln der Integration bist du vertraut und welche meinst du, kann man hier benutzen ?

Edit:

Was man alternativ noch machen könnte, wäre, dass man aufgrund der Bauart der Ausgangsfunktion (insbesondere der Nennerterm) vermutet, dass eine mögliche Stammfunktion die Form $\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{Ax+B}{1+x^2} \end{eqnarray*}$ haben müsste. Nun könnte man $\begin{eqnarray*} F'(x)=\frac{-Ax^2-2Bx+A}{(1+x^2)^2} \end{eqnarray*}$ bilden und einen Koeffizientenvergleich mit f(x) machen, wodurch man dann nach 1-2 Zeilen (je nachdem wie groß man schreibt) schon fertig ist.

28.12.2013, 21:52

MathLee

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Tut mir leid, dass ich kein Matheprof bin. Ist ja auch egal.
Dir auch einen guten Rutsch <33333 :***

28.12.2013, 22:13

Bjoern1982

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Zitat:

Tut mir leid, dass ich kein Matheprof bin.

Was hat das mit meiner Frage zu tun ?
Aber nun gut, wenn du lieber den Clown machen willst, dann sei es so. Wink

Hier ist denke ich eh alles soweit gesagt. Ich wollte nur nochmal auf deinen "Nachruf" eingehen, um zu erfahren, was du damit sagen wolltest und damit du dich nicht ignoriert fühlst. Augenzwinkern

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