Schnittpunkt zweier Schaubilder in Abhängigkeit von a

23.12.2013, 17:18

Klingone

Schnittpunkt zweier Schaubilder in Abhängigkeit von a

Hallo,
ich komme leider bei folgender Aufgabe nicht weiter.

Berechnen Sie den Schnittpunkt der Schaubilder von f und g in Abhängigkeit von a. Für
welche Werte von a gibt es keinen Schnittpunkt,einen Schnittpunkt bzw. zwei Schnittpunkte?

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{4x-1} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} g(x) = ax \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$

Ich habe schon versucht die Beiden Funktionen gleichzusetzen, jedoch komme ich damit auch auf kein grünen Zweig.

23.12.2013, 17:46

Kasen75

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RE: Schnittpunkt zweier Schaubilder in Abhängigkeit von a

Zitat:

Original von Klingone

Ich habe schon versucht die Beiden Funktionen gleichzusetzen, jedoch komme ich damit auch auf kein grünen Zweig.

Wieso nicht ?

Hast du es schon einmal mit quadrieren versucht ?

Grüße.

23.12.2013, 19:00

Klingone

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Wenn ich es gleichsetze erhalte ich zum Schluß :

$\begin{eqnarray*} x = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{ax²}{4} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Zum einsetzen nicht gerade hilfreich.

23.12.2013, 19:20

Kasen75

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Zitat:

Original von Klingone
Wenn ich es gleichsetze erhalte ich zum Schluß :

$\begin{eqnarray*} x = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{ax²}{4} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Zum einsetzen nicht gerade hilfreich.

Sieht doch ganz gut aus. smile

Es muss aber $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ heißen, da ax als ganzes quadriert wird: $\begin{eqnarray*} x = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{a^2x^2}{4} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung kann man jetzt so umformen, dass man eine Gleichung erhält, bei der man die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden kann.

1. Brüche eliminieren.

Das ist nicht zwingend notwendig. Sieht aber schöner aus. Die Gleichung mit 4 multiplizieren.

$\begin{eqnarray*} 4x=a^2x^2+1 \end{eqnarray*}$

Jetzt noch auf beiden Seiten 4x abziehen und die die Parameter in die Mitternachtsformel einsetzen.

Bedenke dabei, dass der Wert des Formelparameters "a" in der Mitternachtsformel ist hier jetzt $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ .

Wenn alles eingesetzt ist, dann schau dir die Diskriminante an.

Wann ist sie größer Null ? Wann ist sie gleich 0 ? Wann ist sie kleiner 0 ?

23.12.2013, 19:49

Klingone

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Danke das hat mir schon sehr geholfen!

Ich habe es jetzt in die Form gebracht :

$\begin{eqnarray*} \frac{4+-\sqrt{16-4a²}}{2a²} \end{eqnarray*}$

Nach zugegeben etwas längerem Versuchen bin ich auf folgendes gekommen .
a = 2 -> D=0 -> eine Lösung/Schnittpunkt
a >2 -> keine Lsg / kein Schnittpunkt
a< 2 -> zwei Lsg / zwei Schnittpunkte

Gibts denn noch einen Trick wie man das schneller sieht oder ist probeweises einsetzen immer am geschicktesten ?

23.12.2013, 20:13

Kasen75

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Zitat:

Original von Klingone
Gibts denn noch einen Trick wie man das schneller sieht oder ist probeweises einsetzen immer am geschicktesten ?

Am besten ist es, wenn man die Diskriminante gleich 0 setzt und dann nach a umformt:

$\begin{eqnarray*} 16-4a^2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 16=4a^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4=a^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pm 2=a \end{eqnarray*}$

Aufgrund der Definitionsmenge ist a=2.

Jetzt kann man schauen, was passiert, wenn a >2. D wird <0. usw. Da hast ja schon die richtigen Schlussfolgerungen gezogen.

Zitat:

Original von Klingone

Nach zugegeben etwas längerem Versuchen bin ich auf folgendes gekommen .
a = 2 -> D=0 -> eine Lösung/Schnittpunkt
a >2 -> keine Lsg / kein Schnittpunkt
a< 2 -> zwei Lsg / zwei Schnittpunkte

Das ist, wie schon erwähnt, richtig. smile

Wenn man noch den Definitionsbereich einbezieht, dann muss für zwei Schnittpunkte $\begin{eqnarray*} 0<a<2 \end{eqnarray*}$ gelten.