3 Geraden, 1 Schnittpunkt, 1 Punkt und 2 Constraints

24.12.2013, 16:38

satowai

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3 Geraden, 1 Schnittpunkt, 1 Punkt und 2 Constraints

Meine Frage:

Gegeben sind:

3 2-dimensionale Geraden: a, b und c.

Alle drei Geraden schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt S. Der Winkel zwischen a und c ist kleiner als 90 Grad und grösser als 0 Grad. Die Gerade b liegt zwischen den Geraden a und c.

Auf der Geraden b liegt ein Punkt B, der nicht auf S liegt.

Gesucht sind:

Ein Punkt A auf der Geraden a und ein Punkt C auf der Gerade c, so, dass BA und BC gleich lang sind und der Winkel zwischen den Vektoren BA und BC 90 Grad beträgt.

Meine Ideen:
Bin Designer mit einem Matheproblem :-) ich habe es mal soweit geschafft, dass ich das Problem mit constraints beschreiben kann:

BA und BC müssen gleich lang sein: A und C liegen auf einem Kreis mit Mittelpunkt B und Radius r. So gesehen, müsste man bloss den Kreis mit den Geraden schneiden, via Kreisgleichung und Geradengleichung.

Jetzt kommt aber noch hinzu, dass die Vektoren BA und BC rechtwinklig zueinander stehen müssen. Deren Vektorprodukt ist also 0.

An dem Punkt versinke ich regelmässig im Morast und bin um jede Hilfe dankbar.

25.12.2013, 08:27

Bürgi

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RE: 3 Geraden, 1 Schnittpunkt, 1 Punkt und 2 Constraints
Gesegnete Weihnachten!

Leider kann ich Dir hier kein Freudenschreie entlockendes Geschenk machen, denn die Aufgabenstellung muss spezifiziert werden, bevor man an die Rechnungen herangehen kann.
Im Anhang findest Du eine Skizze, aus der vielleicht deutlich wird, worin das Problem besteht.

Weiterhin Frohes Fest!

25.12.2013, 11:17

riwe

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RE: 3 Geraden, 1 Schnittpunkt, 1 Punkt und 2 Constraints
wie bürgi schon schreibt, da gibt es viele "ähnliche" lösungen.

der rest ist eine ganz einfache übung, wenn du auf vektoren verzichtest Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.12.2013, 13:49

satowai

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Frohe Weihnachten!

Vielen Dank für die Antworten. Der Punkt B auf der mittleren Geraden b ist aber gegeben, damit dürfte es dann nur 2 verschiedene Lösungen geben, oder sehe ich da was falsch?

[attach]32464[/attach]

Eigentlich suche ich für ein gegebenes B die Punkte A2 und C2, aber natürlich interessieren mich A1 und C1 ebenfalls.

Ich muss auf Vektoren verzichten? Also Satz des Pythagoras? Ich sehe auch, dass sich die Punkte proportional mit dem Punkt B mitverschieben... aber ich kriege die verschiedenen Aussagen nicht zusammen.

25.12.2013, 13:53

MathLee

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Zitat:

Original von satowai
damit dürfte es dann nur 2 verschiedene Lösungen geben, oder sehe ich da was falsch?

Ist richtig.

25.12.2013, 15:03

riwe

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Zitat:

Original von satowai

Ich muss auf Vektoren verzichten? Also Satz des Pythagoras? Ich sehe auch, dass sich die Punkte proportional mit dem Punkt B mitverschieben... aber ich kriege die verschiedenen Aussagen nicht zusammen.

müssen tust du nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

und nicht der pythagoras ist das mittel der wahl sondern der sinussatz

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25.12.2013, 17:59

Equester

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@MathLee:

Beachte bitte das Boardprinzip. Ist ein Ersthelfer aktiv (hier sogar schon zwei) ist ein Mitmischen nicht nötig.

Danke

26.12.2013, 14:56

riwe

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wenn du nicht rechnen willst, kannst du das zeug ja "konstruieren" Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.12.2013, 14:14

satowai

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Hallo Riwe

Danke für die Hilfe. Rechnen wäre mir lieber, ich hab auch versucht den Sinussatz auf verschiedene Längen und Winkel anzuwenden, aber komme nicht weiter. Du meinst, dass ich das Ganze nur mit dem Sinussatz lösen kann? Dann werd ichs weiter versuchen.

27.12.2013, 15:15

riwe

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ja der sinussatz genügt.

für das gesuchte dreieck sei

$\begin{eqnarray*} \sphericalangle{ASB}=\alpha\quad{ }\sphericalangle{BSC}=\gamma\wedge\sphericalangle{SBA}=\beta \end{eqnarray*}$

dann gilt

$\begin{eqnarray*} |SB| : s=sin(\alpha+\beta) : sin\alpha \end{eqnarray*}$

mit der gesuchten länge s.

für die "andere" seite gilt analoges,
daraus kannst du nun (zunächst) den winkel $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ und dann s berechnen.

darauf beruht auch die "konstruktion", die lediglich den strahlensatz benötigt Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.12.2013, 17:49

satowai

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Vielen Dank! Ich bin habe völlig übersehen, den unbekannten Winkel SAB durch den bekannten Winkel ASB und den gemeinsam mit der "anderen Hälfte" verwendeten Winkel SBA auszudrücken...

Jetzt stecke ich in der Gleichung etwas fest. Soweit bin ich gekommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{SB}{s} = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha(\cos\beta + \frac{\sin\beta\cos\alpha}{\sin\alpha})}{\sin\alpha} = \cos\beta + \frac{\sin\beta}{\tan\alpha} \end{eqnarray*}$

Wie kriege ich das weiter nach beta aufgelöst?

28.12.2013, 10:49

riwe

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so gar nicht
man sollte halt genau lesen (können) Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \Delta {ABS} : \frac{b}{s}=\frac{sin(\alpha+\beta)}{sin\alpha} \end{eqnarray*}$

die ANDERE seite

$\begin{eqnarray*} \Delta{BCS} : \frac{b}{s}=\frac{sin(180-(90-\beta+\gamma))}{sin\gamma} \end{eqnarray*}$

gleichsetzen ergibt eine gleichung für $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$

28.12.2013, 12:12

satowai

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Das habe ich schon richtig verstanden, der Betrag von SB der vorherigen Grafik entspricht dem b Ihrer neuen Grafik. Oder sehe ich da was falsch? Mein letzter Beitrag bezog sich darauf, dass ich Schwierigkeiten mit der linken Seite der Gleichung habe, nämlich:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha)} = \frac{180-(90-\beta+\gamma)}{\sin\gamma} \end{eqnarray*}$

Da kann ich das beta nicht so isolieren, dass ich es auf eine Seite der Gleichung kriege. Ich habe versucht über das Additionstheorem und Ausklammern $\begin{eqnarray*} \sin\alpha \end{eqnarray*}$ wegzukürzen, aber das Resultat sieht dann nicht viel einfacher aus. Was mache ich da falsch?

28.12.2013, 12:25

riwe

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a) wir sind hier per du Augenzwinkern

Augenzwinkern

b) ja das b = |SB|
c) ich sehe in deinem beitrag kein $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

d) $\begin{eqnarray*} sin(180 - (90-\beta+\gamma))=cos(\gamma-\beta) \end{eqnarray*}$

auf die beiden summenterme wendest du nun die additionstheoreme an und multiplizierst aus, das ergibt nach division durch $\begin{eqnarray*} cos\beta \end{eqnarray*}$ eine gleichung für den $\begin{eqnarray*} tan\beta \end{eqnarray*}$

ok, sonst basteln wir halt gemeinsam weiter verwirrt

verwirrt

28.12.2013, 12:44

satowai

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Danke für deine Hilfe smile

smile

Wie komme ich auf die Zwischenlösung unter d) ?

28.12.2013, 12:48

riwe

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das gilt ja immer - guck auf den einheitskreis
sin(90 - x)=cos(x)

28.12.2013, 13:06

satowai

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So?

$\begin{eqnarray*} \tan\beta = \frac{\cos\gamma}{\cot\alpha + \sin\gamma} \end{eqnarray*}$

28.12.2013, 13:28

satowai

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Oje, das war falsch, neuer Versuch:

$\begin{eqnarray*} \tan\beta = \frac{\cos\gamma-\sin\gamma}{\cot\alpha\sin\gamma + \sin\gamma} \end{eqnarray*}$

28.12.2013, 13:32

riwe

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wie kommst du den auf dieses (un)zeug verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} sin\gamma\cdot(sin\alpha\cdot\color{red}cos\beta\color{black}+cos\alpha\cdot\color{blue}sin\beta\color{black})=sin\alpha\cdot(\color{red}cos\beta\color{black}\cdot cos\gamma+\color{blue}sin\beta\color{black}\cdot sin\gamma) \end{eqnarray*}$

jetzt faßt du die glieder mit cos und sin zusammen und dividierst, denn es gilt ja:

$\begin{eqnarray*} tan\beta=\frac{sin\beta}{cos\beta} \end{eqnarray*}$

28.12.2013, 13:51

satowai

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Okay, ich multipliziere aus und klammere cos beta aus:

$\begin{eqnarray*} \cos\beta(\sin\gamma\sin\alpha + \sin\gamma\cos\alpha\tan\beta) = \cos\beta(\sin\alpha\cos\gamma + \sin\alpha\sin\gamma\tan\beta) \end{eqnarray*}$

Danach:

$\begin{eqnarray*} \tan\beta = \frac{\sin\alpha\cos\gamma - \sin\gamma\sin\alpha}{\sin\gamma\cos\alpha - \sin\alpha\sin\gamma} \end{eqnarray*}$

28.12.2013, 13:57

riwe

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jetzt kannst du noch ein bißerl kosmetik machen und im zähler $\begin{eqnarray*} sin\alpha \end{eqnarray*}$ sowie im nenner herausheben Freude

Freude

die 2. lösung findest du nun analog Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.12.2013, 14:56

satowai

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Unglaublich Hammer

Hammer

hab ich doch noch wenigstens was beigetragen.

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin\alpha(\cos\gamma - \sin\gamma)}{\sin\gamma(\cos\alpha - \sin\alpha)} \end{eqnarray*}$

Sieht ja sogar hübsch aus. Vielen Dank für die Hilfe Gott

Gott

Ich schreib wieder, wenn ich die anderen Lösungen habe. Heute muss ich noch ein paar nicht-mathematische Dinge erledigen.

28.12.2013, 15:00

riwe

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schön wäre, wenn davor noch stünde

$\begin{eqnarray*} tan\beta = \end{eqnarray*}$

viel spaß bei der 2. lösung, tipp: beachte den einheitskreis Augenzwinkern

Augenzwinkern

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