Epsilon-Delta stetig

25.12.2013, 11:30

asdf123123

Epsilon-Delta stetig

Meine Frage:
Liebe Kollegen,
bin gerade am lernen für die Jänner-Klausuren und hänge ein wenig an den "komplizierten" Epsilon-Delta-Stetigkeitsbeispielen

Ich soll uA zeigen, dass (x^2-1)/(x+3) an x=0 stetig ist.
Leider komme ich auf GAR nichts sinnvolles...

Meine Ideen:
Also aus der Angabe folgt:
$\begin{eqnarray*} |x|<delta<br /> |(x^2-1)/(x+3) + 1/3| < Epsilon<br /> |((x+1)*(x-1))/(x+3) + 1/3| < Epsilon \end{eqnarray*}$
und jetzt? unglücklich

25.12.2013, 13:28

Alaster

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Du hast $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^2-1}{x+3} \end{eqnarray*}$ . Wenn du jetzt zeigen willst, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Nullpunkt stetig ist, brauchen wir:

$\begin{eqnarray*} |x| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(0)| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Also schätzen wir doch mal ab:

$\begin{eqnarray*} |f(x) - f(0)| = \left|\frac{x^2-1}{x+3} +\frac{1}{3}\right| = \left|\frac{3(x^2-1)+x+3}{3(x+3)}\right| = \frac{1}{3}\cdot \frac{|x||3x+1|}{|x+3|}. \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du schauen was du damit machen kannst: Wir müssen den letzten Ausdruck nach oben abschätzen, also wissen wir schonmal $\begin{eqnarray*} |x| < \delta \end{eqnarray*}$ und außerdem haben wir

$\begin{eqnarray*} |3x+1| \le 3|x|+1 < 3 \delta +1 \end{eqnarray*}$

mit Hilfe der Dreiecksungleichung.
Was machen wir mit dem Nenner? Den müssen wir kleiner machen, und zwar kann man sich für jedes reelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ überlegen, dass $\begin{eqnarray*} |x+3| \ge 1 \end{eqnarray*}$ , denn

$\begin{eqnarray*} |x+3| \ge 1 \Leftrightarrow x^2+6|x| \ge -8 \end{eqnarray*}$ ,

was sicherlich richtig ist.

Jetzt kannst du dir überlegen, wie du dein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ definieren musst (welches vom $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ abhängen darf), damit die Abschätzung am Ende aufgeht.

25.12.2013, 13:57

shipwater

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Zitat:

Original von Alaster
Was machen wir mit dem Nenner? Den müssen wir kleiner machen, und zwar kann man sich für jedes reelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ überlegen, dass $\begin{eqnarray*} |x+3| \ge 1 \end{eqnarray*}$ , denn

$\begin{eqnarray*} |x+3| \ge 1 \Leftrightarrow x^2+6|x| \ge -8 \end{eqnarray*}$ ,

was sicherlich richtig ist.

Das würde ich nochmal überdenken.

Gruß Shipwater

25.12.2013, 14:03

Alaster

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Edit: Du hast natürlich recht. Für x = -3.5 funktioniert es z. B. nicht.

25.12.2013, 14:21

asdf1231231

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Okay also das Abschätzen des Zählers ergibt Sinn, jetzt muss ich das delta noch irgendwie in den Nenner bringen, wenn ich das richtig verstanden habe... also brauch ich eine |x| > irgendwas mit delta Aussage... aber wo bekomm ich die her?

25.12.2013, 15:45

shipwater

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Fordere $\begin{eqnarray*} \delta \leq 1 \end{eqnarray*}$ (das darfst du, setze nachher einfach $\begin{eqnarray*} \delta=\min\{1,...\} \end{eqnarray*}$ ) damit kannst du den Nenner dann leicht abschätzen und im Zähler kannst du $\begin{eqnarray*} \delta^2 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ abschätzen was das weitere Vorgehen auch erleichtert.

Gruß Shipwater

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