Stellen an denen f(x,y) eine horizontale Tangentialebene besitzt bestimmen

25.12.2013, 17:45

Pippiplatsch

Stellen an denen f(x,y) eine horizontale Tangentialebene besitzt bestimmen

Hallo,
leider bekomme ich folgende Aufgabe nicht gelöst. Es handelt sich um die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{e^{2X}}{x-y²} \end{eqnarray*}$ . Hier sollen alle Stellen $\begin{eqnarray*} (x, y) \end{eqnarray*}$ an denen f eine horizontale Tangentialebene besitzt bestimmt werden.

Ich habe die Partiellen Ableitungen gebildet, komme aber ab hier nicht weiter.

$\begin{eqnarray*} fx (x, y ) = e^{2X} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{2x-2y²-1}{(x-y²)²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} fy (x, y ) =\frac{2ye^{2x}}{(x-y²)²} \end{eqnarray*}$

Wäre super wenn mir hier jemand auf die Sprünge helfen könnte Big Laugh

25.12.2013, 22:49

Christian_P

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Hallo

Was ist denn die notwendige Bedingung für ein Extremum?

Gruß Wink

25.12.2013, 23:18

Pippiplatsch

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Ich habe nun herausgefunden das ich die beiden partiellen Ableitungen gleich null setzen muss.
Nur hilft mir das bei der Aufschlüsselung der Terme nicht weiter. Ich tu mir schwer mit dem Bruch und der e Funktion. unglücklich

Gruß

26.12.2013, 09:37

Huggy

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Beachte folgendes:

Ein Produkt wird genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist.
Ein Bruch wird genau dann Null, wenn der Zähler Null wird.
Die e-Funktion wird nie Null.

26.12.2013, 12:26

Pippiplatsch

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Wenn ich also bei $\begin{eqnarray*} fy \end{eqnarray*}$ x null setze , bekomme ich doch im Zähler für $\begin{eqnarray*} y=2 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} e^{2*0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ raus . In der Lösung steht jedoch $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ .

26.12.2013, 14:14

Christian_P

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Hi

Zuerst würde ich noch mal die partiellen Ableitungen in einem
Computer-Algebra-System überprüfen.

weiter ist $\begin{eqnarray*} \forall x\in \mathbb{R} \left( e^x \ne 0\right) \end{eqnarray*}$

Huggy hatte das ja schon gesagt.
Einfach alles "ganz normal" auflösen.

Gruß Wink

26.12.2013, 16:32

Pippiplatsch

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Die Ableitungen stimmen, stehen auch so in der Lösung Big Laugh

.
Ich habe glaub gerade eben meinen Denkfehler gefunden. Ganz sicher bin ich mir jedoch noch nicht .
Das ich den Zähler nehmen muss um Null zu werden ist jetzt klar .

Wenn ich den Zähler von $\begin{eqnarray*} fy \end{eqnarray*}$ Null setze, kann ich es dann so schreiben :

$\begin{eqnarray*} 2ye^{2x}=0 \end{eqnarray*}$ ?

Und wieso setzt ich dann mit dem Nullsetzen auch das x in der Gleichung gleich null. Das verwirrt mich . Wie man von der Gleichung jetzt auf y=0 kommt ist nun auch klar :> .

26.12.2013, 16:35

Dopap

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die Ableitungen stimmen.

Zitat:

Original von Pippiplatsch
Wenn ich also bei $\begin{eqnarray*} fy \end{eqnarray*}$ x null setze , bekomme ich doch im Zähler für $\begin{eqnarray*} y=2 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} e^{2*0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ raus . In der Lösung steht jedoch $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ .

dann versuch es doch anders herum:

$\begin{eqnarray*} f_y(x,0)=0 \end{eqnarray*}$ und jetzt noch schauen für welches x

$\begin{eqnarray*} f_x(x,0)=0 \end{eqnarray*}$ gilt!

26.12.2013, 17:53

Pippiplatsch

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Oh mist Danke, ich hab es jetzt verstanden Freude

.
Ich habe total missachtet das dies eigentlich nichts anderes als $\begin{eqnarray*} fy (x, 0) = 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} fx (x, 0) = 0 \end{eqnarray*}$ ist Hammer

26.12.2013, 18:19

Dopap

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schön wenn du es verstanden hast.
Nur wie lautet jetzt das konkrete x verwirrt

26.12.2013, 18:50

Pippiplatsch

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Für x bekomme ich demnach 1/2 und für y = 0 . Also hat die Funktion Z an (1/2 | 0 ) eine horizontale Tangentialebene.

26.12.2013, 19:07

Dopap

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Ja, richtig !

Die Bedingung ist hiermit erfüllt. Hinweis: es muss sich deshalb aber nicht um ein relatives MIN oder MAX handeln.

Wie könnte man das testen ?

26.12.2013, 19:54

Pippiplatsch

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Wenn $\begin{eqnarray*} delta(Xe , Ye ) > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} fxx ( Xe, Ye ) < 0 \end{eqnarray*}$ ist hat man ein Maximum. Bei einem Minimum ist $\begin{eqnarray*} fxx ( Xe, Ye ) >0 \end{eqnarray*}$ .

oder ?

26.12.2013, 20:26

Dopap

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also dein "delta" ist ja kein reserviertes Symbol.

Im Hochschulforum würde ich aber gleich auf die Definitheit der Hesse Matrix eingehen.
Damit wäre das Thema auch gleich in höheren Dimensionen "erledigt".

Dies nur als Hinweis. Das Thema wurde hier schon oft behandelt, wir brauchen das aber jetzt nicht neu aufrollen.

26.12.2013, 20:58

Pippiplatsch

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So haben wir es bisher immer gemacht. Hesse Matrix haben wir noch nicht gemacht.

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