Quadratwurzel/ rational oder irrational

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Martin13 Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratwurzel/ rational oder irrational
Kann mir mal einer weiterhelfen, wie man einer Quadratwurzel ansieht ob sie rational oder irrational ist?

Bei den Quadratzahlen ist es ja klar das ihr Wurzel retional ist und bei den Primzahlen ist sie immer irrational (oder nicht?)! Und wenn man Wurzel 8 in Wurzel4*Wurzel2 zerlegt, dann merkt man gleich, das sie irrational sein muss weil (rational)*(rirational) immer irrational ergibt. Aber was ist mit Wurzel10, wie sieht man der zum Beispiel an ob die Rational oder Irrational ist?!?

Schon man herzlichen Dank für alle Antworten, ich hoffe ich habe meine Frage einigermaßen verständlcih ausgedrückt...
Gustav Auf diesen Beitrag antworten »

Die Wurzel einer natürlichen Zahl n ist stets ganzzahlig oder irrational.

Ganzzahlig ist sie genau dann, wenn es ein gibt, s.d. gilt
Ansonsten ist sie stets irrational, für kein gilt .
Gustav Auf diesen Beitrag antworten »

In der letzten Zeile muss es heißen
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Habe das für dich editiert, Gustav. Wenn du dich registrierst, steht dir auch die Edit-Funktion zur Verfügung.

Gruß vom Ben
Martin13 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso ich hatte mal gelesen Wurzel10 ist rational... Also ist das falsch?!

Das wurde da so erklärt, dass man Wurzel10 ja in Wurzel5 * Wurzel2 zulegen könne und diese ja einzel irratioal sein aber zusammen multipliziert wieder rational sind, und daher Wurzel10 rational ist, das stimmt also nicht!?!

Und dann noch eine Frage die sich daraus für mich ergibt, gibt es zum Beispiel noch eine Irrationale Zahl außer Wurzel3 mit der man Wurzel3 multiplizieren kann bei der wieder eine rationale Zahl rauskommt?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

z.B. Wurzel(12)

*gg*
 
 
Gustav Auf diesen Beitrag antworten »

ist irrational, denn es ist und also kann die Lösung von nicht ganzzahlig sein.

Zur zweiten Frage:
Es ist beispielsweise
Allgemein ist für jedes
rational.
Martin13 Auf diesen Beitrag antworten »

1. Frage: Na das es für Wurzel10 keine ganzzahlige Lösung gibt war mir schon klar, aber warum bedeutet das denn dann gleichzeitig, dass das Ergebniss irrational ist?!


2. Ok, da hätt ich natürlich selber draus kommen können, dass die vielfachen von Wurzel3 dafür möglich sind, aber ich hatte eher sowas wie Wurzel5 im Kopf, ist das denn nicht möglich?
BraiNFrosT Auf diesen Beitrag antworten »

Der Beweis sollte so in etwa aussehen :



Der Bruch ist Teilerfremd, also gekürzt, und



p^2 ist eine gerade Zahl p ist gerade

Eine gerade Zahl ist immer darstellbar durch 2m





q^2 ist gerade q ist gerade

Und das steht im Widerspruch zu der Annahme das der Bruch Teilerfremd ist.

Ich hoffe der Fehlerteufel hat mich verschont.
MfG Brainfrost
Martin13 Auf diesen Beitrag antworten »

OK danke schön!
Wenn ich das richtig sehe kann man den Beweis für alle geraden Zahlen anwenden, die durch 2 geteilt eine ungerade zahl ergeben...
Also 2,6,10,14 usw...
Aber wie siehts mit den ungraden und den "doppel positven" Zahlen aus, wie 3 oder 8...

Schon mal Dank im Vorraus!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ Martin13

Ich zeige dir einmal eine andere elementare Beweismöglichkeit, die auch sofort auf höhere Potenzen als Quadrate übertragbar ist.

Wir zerlegen die rationalen Zahlen in zwei Teile, nämlich die ganzen Zahlen und die nicht ganzen Zahlen . Die letzteren nenne ich hier einmal echt-gebrochen.

Jetzt quadrieren wir eine rationale Zahl x.

1. Fall:
Dann gilt:

Fazit: Durch Quadrieren einer ganzen Zahl erhält man eine Quadratzahl.

2. Fall:
Wir nehmen x als positiv an (beim Quadrieren spielt das Vorzeichen ja keine Rolle). x kann als vollständig gekürzter Bruch mit einem Nenner >1 geschrieben werden.
Jetzt stellen wir uns den Zähler und den Nenner dieses Bruches vollständig in Primfaktoren zerlegt vor. Dann gibt es keinen Primfaktor, der sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommt. Und wenn man x jetzt quadriert, so ist das wegen der Regel "Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner" bei x² genauso. Also ist der Bruch von x² ebenfalls vollständig gekürzt mit einem Nenner >1.

Fazit: Durch Quadrieren einer echt-gebrochenen Zahl erhält man wieder eine echt-gebrochene Zahl.


Was kann man daraus über sagen, wenn n eine positive ganze Zahl, aber keine Quadratzahl ist?
Wir nehmen an, daß gilt. Wäre nun x ganz, so müßte x²=n nach dem 1. Fall eine Quadratzahl sein, aber das soll n ja gerade nicht sein. Bleibt also nur noch der 2. Fall übrig. Wäre aber x nun echt-gebrochen, so müßte auch x² echt-gebrochen sein. Aber n sollte ja ganz sein! Auch der 2. Fall kann also nicht eintreten.
Damit folgt aber, daß x nicht rational sein kann.
Gustav Auf diesen Beitrag antworten »

Etwas allgemeiner:
Satz von Gustav: Augenzwinkern
Für alle natürlichen Zahlen n und m ist entweder ganzzahlig oder irrational.

Beweis:
Es sei eine rationale Zahl. Dann existieren natürliche Zahlen a und b mit ggT(a,b) = 1 und also . Somit gilt ist b ein Teiler von also . Aus ggT(a,b) = 1 folgt und deshalb b = 1.
q.e.d.
Gast Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du uns helfen????
hallo... wir haben einernsthaftes problem, wir müssen für moregn ei referat über die geschichte der irrationalen zahlen schreiben, und wir haben keine ahnung davon!!!! Kannste uns vielleicht da eine seite nenen oder etwas darüber schicken??? Bitte wir haben nur noch eine stunde zeit!!! traurig Lena & Bine
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und das Referatsthema habt ihr erst heute bekommen? Eigentlich sollte man euch nicht helfen!

Dennoch ein paar Stichworte zum Googeln:

Pythagoreer, Inkommensurabilität, Hippasos (Hippasus), Eudoxos, Euklid, Archimedes, Ptolemaios, Stifel, Descartes, Intervallschachtelung, Wurzeln, Quadrate, Kettenbrüche, Heron, ...
Medusa Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis irr.
Hi,
ich habe auch gerad den Beweis gesucht, dass Wurzel 10 irr. ist. Wir hatten nämlich immer die Begründung, dass wenn man die Wrzel quadriert und die Zahl, die rauskommt eine Primzahl ist, dann einen Widerspruch bildet.
Man kann also nicht immer davon ausgehen (wegen dem Bsp. Wurzel 10) Allerdings habe ich nicht verstanden, wie ich den Beweis nun so verallgemeinere, dass man immer zeigen kann, ob diese Zahl unter der Wurzel irr. ist oder nicht. Geht das denn überhaupt?
Gruß, C.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@Medusa
Bitte für eine neue Frage einen neuen Thread und bitte nicht zweimal posten!

@all
Bitte hier nicht mehr auf Medusas Frage antworten, sondern Antworten in diesen Thread stellen! Danke.
Juschk Auf diesen Beitrag antworten »

Den Beweis habe ich verstanden, aber warum ist ein Bruch irrational wenn er Teilerfremd (gekürzt) ist? verwirrt
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Geschlossen
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