Pythagoreisches Triple

26.12.2013, 10:17	DerJoker	Auf diesen Beitrag antworten »
Pythagoreisches Triple Guten Morgen, ich versuche mich momentan an der folgenden Aufgabe: "Wenn für drei natürlich Zahlen a,b,c die Gleichung a^2+b^2 = c^2 gilt, dann ist abc durch 60 teilbar." Ok, die Teiler von 60 sind 1,2,3,4,5,6,12 und 60. Nun wollte ich zunächst die Teilbarkeit durch 3 nachweisen. Also betrachte ich die Quersumme. Ich weiß das $\begin{eqnarray} x \equiv 0,1,2 (mod 3) \Rightarrow x^2 \equiv 0,1 (mod 3) \end{eqnarray}$ Nun ist mir bis jetzt nichts besseres als eine stupide Fallunterscheidung eingefallen.Also: Fall 1: Sei $\begin{eqnarray} a \equiv 0 (mod 3) \end{eqnarray}$ . Fall 1a: $\begin{eqnarray} b \equiv 0 (mod 3) \Rightarrow a^2+b^2 \equiv 0 (mod 3) \Rightarrow c^2 \equiv 0 (mod 3) \Rightarrow c \equiv 0 (mod 3) \end{eqnarray}$ . Dann ist auch a+b+c durch 3 teilbar. Fall 1b: $\begin{eqnarray} b \equiv 1 (mod 3) \Rightarrow b^2 \equiv 1 (mod 3) \Rightarrow a^2+b^2 \equiv 1 \equiv c^2 \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} c \equiv 1 (mod 3) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} c \equiv 2 (mod 3) \end{eqnarray}$ . Angenommen $\begin{eqnarray} c \equiv 1 (mod 3) \end{eqnarray}$ . Dann ist aber $\begin{eqnarray} a+b+c \equiv 0+1+1 \equiv 2 (mod 3) \end{eqnarray}$ . Und hier geht's bei mir nicht weiter. Wie kann man zeigen das dieser Fall nicht auftritt? Überhaupt finde ich meinen Lösungsansatz leider sehr unschön. Hat jemand einen Tipp für mich? Schönen gruß, DerJoker
26.12.2013, 11:08	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Pythagoreisches Triple hallo joker, das ist eine schöne aufgabe, die spass macht, und du warst eigentlich auf einem guten weg und bist dann irgendwie in der mitte eingeknickt... Also, zunächst kann man sich überlegen, dass eine zahl dann durch 60 teilbar ist, wenn sie durch 3, 4 und 5 teilbar ist. Und tatsächlich kann man durch modulo- betrachtungen nachweisen, dass all das der fall ist. Nehmen wir modulo 3: wenn einer der zahlen a,b oder c durch 3 teilbar ist, ist auch abc duch 3 teilbar, und wir sind schon fertig. Und wie du richtig festgestellt hast, kann das quadrat einer zahl modulo 3 nur =0 oder =1 sein. Welche fälle können dann bei a^2+b^2=c^2 überhaupt eintreten? Mehr verrate ich nicht, sonst ist das fast schon eine komplettlösung. Analog betrachtet man das dann mod 4 und mod 5. Viel spass beim nachdenken! gruss ollie3
26.12.2013, 11:13	DerJoker	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo ollie3, jetzt ärger ich mich ein wenig. Weshalb habe ich denn so einen Aufwand für den Fall das a durch 3 teilbar ist betrieben . Gut. Dann denke ich noch Mal über diese Aufgabe nach und poste dann meine (hoffentlich korrekte) Lösung. Danke schön! Schönen Gruß, DerJoker
26.12.2013, 11:40	DerJoker	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ok das war dann nun doch leichter als ich dachte. Also: Teilbarkeit durch 3: $\begin{eqnarray} x \equiv 0,1,2 (mod 3) \Rightarrow x^2 \equiv 0,1 (mod 3) \end{eqnarray}$ Fall 1: $\begin{eqnarray} c \equiv 0 (mod 3) \Rightarrow abc \equiv 0 (mod 3) \end{eqnarray}$ . Fall2: $\begin{eqnarray} c \equiv 1 (mod 3) \Rightarrow c^2 \equiv 1 (mod 3) \Rightarrow c^2 = a^2+b^2 \equiv 1 (mod 3) \Rightarrow a^2 \equiv 0 (mod 3) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} b^2 \equiv 0 (mod 3) \end{eqnarray}$ . Also ist a oder b durch 3 teilbar. Fall 3: $\begin{eqnarray} c \equiv 2 (mod 3) \Rightarrow c^2 \equiv 1 (mod 3) \end{eqnarray}$ . Dann analog zu Fall 2. Die Teilbarkeit durch 4 und 5 erfolgen dann tatsächlich analog . Vielen Dank.

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