Quadratzahl 1994,1993

26.12.2013, 13:37	DerJoker	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratzahl 1994,1993 Hallo, ich hänge momentan an der folgenden Aufgabe: "Man bestimme alle Paare (m,n) positiver ganzer Zahlen für die 1994^m-1993^n eine Quadratzahl ist" Nun habe ich mir das ganze modulo 1994 und modulo 1993 angeschaut. Leider ohne wirklichen Erfolg. Danach habe ich es mit modulo 3 versucht. Auch hier komme ich nicht wirklich weiter . Ich würde mich über einen kleinen Ansatz von euch freuen. Schönen Gruß, DerJoker
26.12.2013, 13:47	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Modulo 4 führt dich zum Ziel.
26.12.2013, 14:12	DerJoker	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo tmo, wie kommst du denn ausgerechnet auf die 4 ?. Ich hätte wohl jetzt noch länger mit der 3 rumhantiert. Nun offensichtlich ist (1,1) eine Lösung. Weiter gilt: $\begin{eqnarray} 1993 \equiv 93 \equiv 1 (mod 4) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1994 \equiv 94 \equiv 2 (mod 4) \end{eqnarray}$ . Damit ist auch $\begin{eqnarray} 1993^n \equiv 1 (mod 4) \end{eqnarray}$ . Man muss sich also nur noch um das "m" kümmern. Ist m = 1, so gilt: $\begin{eqnarray} 1994-1993^n \equiv 2-1 \equiv 0 (mod 4) \end{eqnarray}$ . Ist nun n > 1, so ist 1994-1993^n < 0. Also muss n = 1 gelten. Ist m >= 2, so gilt: $\begin{eqnarray} 1994^m - 1993^n \equiv -1 \equiv 3 (mod 4) \end{eqnarray}$ . Da aber $\begin{eqnarray} x \equiv 0,1,2,3 (mod 4) \Rightarrow x^2 \equiv 0,1 (mod 4) \end{eqnarray}$ . Kann es sich hierbei nicht um eine Qudratzahl handeln. Schön und gut. Aber auch die 4 wäre ich wohl nicht gekommen .
26.12.2013, 14:18	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn es um Quadratzahlen geht, ist modulo 4 nunmal immer eine feine Sache. Wenn das nicht reicht, kann man danach modulo 8 ausprobieren. Aber hier hat 4 ja schon gereicht.
26.12.2013, 14:40	DerJoker	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, erst mal danke für deine Hilfe . Allerdings sehe ich noch nicht wirklich weshalb ausgerechnet die 4 und wieso 8 so hilfreich sind? Ich sehe noch nicht wirklich weshalb diese beiden Zahlen helfen. Hier ist es der Fall,ja. Aber weshalb ausgerechnet es mit 4 klappt sehe ich nicht.
26.12.2013, 15:17	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Modulo 4 ist nur die Häfte der Zahlen ein Quadrat. Modulo 8 sind es nur drei von Acht. Modulo einer Primzahl (insbesondere 3) hingegen sind immer mehr als die Hälfte aller Zahlen Quadrate. Also liefert uns bei Fragestellungen mit Quadratzahlen modulo 4 oder modulo 8 mehr Informationen als modulo einer Primzahl.
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26.12.2013, 16:47	DerJoker	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ja das macht Sinn. Vielen Danke

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