Quadratzahl 1994,1993

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DerJoker Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratzahl 1994,1993
Hallo,

ich hänge momentan an der folgenden Aufgabe: "Man bestimme alle Paare (m,n) positiver ganzer Zahlen für die 1994^m-1993^n eine Quadratzahl ist"

Nun habe ich mir das ganze modulo 1994 und modulo 1993 angeschaut. Leider ohne wirklichen Erfolg. Danach habe ich es mit modulo 3 versucht. Auch hier komme ich nicht wirklich weiter verwirrt . Ich würde mich über einen kleinen Ansatz von euch freuen.

Schönen Gruß,
DerJoker
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Modulo 4 führt dich zum Ziel.
DerJoker Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo tmo,

wie kommst du denn ausgerechnet auf die 4 verwirrt ?. Ich hätte wohl jetzt noch länger mit der 3 rumhantiert.
Nun offensichtlich ist (1,1) eine Lösung. Weiter gilt: und . Damit ist auch . Man muss sich also nur noch um das "m" kümmern. Ist m = 1, so gilt: . Ist nun n > 1, so ist 1994-1993^n < 0. Also muss n = 1 gelten. Ist m >= 2, so gilt: . Da aber . Kann es sich hierbei nicht um eine Qudratzahl handeln. Schön und gut. Aber auch die 4 wäre ich wohl nicht gekommen unglücklich .
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es um Quadratzahlen geht, ist modulo 4 nunmal immer eine feine Sache. Wenn das nicht reicht, kann man danach modulo 8 ausprobieren. Aber hier hat 4 ja schon gereicht.
DerJoker Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

erst mal danke für deine Hilfe Freude . Allerdings sehe ich noch nicht wirklich weshalb ausgerechnet die 4 und wieso 8 so hilfreich sind? Ich sehe noch nicht wirklich weshalb diese beiden Zahlen helfen. Hier ist es der Fall,ja. Aber weshalb ausgerechnet es mit 4 klappt sehe ich nicht.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Modulo 4 ist nur die Häfte der Zahlen ein Quadrat. Modulo 8 sind es nur drei von Acht.

Modulo einer Primzahl (insbesondere 3) hingegen sind immer mehr als die Hälfte aller Zahlen Quadrate.

Also liefert uns bei Fragestellungen mit Quadratzahlen modulo 4 oder modulo 8 mehr Informationen als modulo einer Primzahl.
 
 
DerJoker Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ja das macht Sinn. Vielen Danke smile
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