Potential einer Kugelschale

26.12.2013, 16:10

Lamiamaedchen

Potential einer Kugelschale

Hallo, ich brauche Hilfe! verwirrt

Die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} K:= \{ x \in \mathbb{R}^3: r \leq || x || \leq R\}, 0<r<R<\infty. \mbox{ Berechne } \int_K \frac{dx}{||x-t||} \mbox{ für } ||t||<r, r \leq ||t||, ||t||> R. \end{eqnarray*}$

Irgendwie riecht es hier nach Kugelkoordianten. Deswegen sind hier meine Überlegungen:

$\begin{eqnarray*} \mbox{Definiere } \Phi: (s, \theta, \varphi) \mapsto ( s \sin \theta \cos \varphi; s \sin \theta \sin \varphi; s \cos \theta) \mbox{ mit } \varphi \in (0,2\pi), \theta \in (0,\pi), s \in (r,R). \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \mbox{ Dann } \det D\Phi = s^2 \sin \theta. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mbox{Transformation: } \int_K \frac{dx}{||x-t||} = \int_r^R \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \frac{s^2 \sin \theta}{\sqrt{s^2-2s(t_1\sin \theta \cos\varphi + t_2 \sin \theta \sin \varphi + t_3 \cos \theta)+t_1^2+t_2^2+t_3^2}}ds d\varphi d\theta \end{eqnarray*}$

Ich vermute, dass ich dank der Kugelsymmetrie t geschickt wählen kann. Aber ich stehe hier auf dem Schlauch.

26.12.2013, 17:00

Lamiamaedchen

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Anschaulich überlegt: Ich könnte t (den Vektor) auf die z-Achse legen. Dann gilt für $\begin{eqnarray*} t=(s'\sin \theta'\cos \varphi'; s'\sin \theta'\sin \varphi', s' \cos \theta'): \\ \varphi'=\varphi, \theta'=0 \Rightarrow t=(0,0,s'). \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

28.12.2013, 09:10

Huggy

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Das ist alles richtig und sinnvoll. jetzt musst du nur noch integrieren.

Den Vektor $\begin{eqnarray*} t=(0, 0, t_3) \end{eqnarray*}$ in Kugelkoordinaten auszudrücken, führt nur zu einer Umbenennung von $\begin{eqnarray*} t_3 \end{eqnarray*}$ . Da könnte man, um Schreibarbeit zu sparen, eine einfache Bezeichnung wie z. B. $\begin{eqnarray*} t_3=d \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} t_3=z \end{eqnarray*}$ wählen.

03.01.2014, 11:31

Sorall

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Habe auch grade diese Aufgabe durchgerechnet. An einer Stelle ist mir aber etwas unklar. Und zwar an folgender Stelle:

$\begin{eqnarray*} 2\pi \int\limits_r^R \frac{s}{z} \left(\sqrt{s^2+2sz+z^2} - \sqrt{s^2-2sz+z^2}\right) ds \qquad (z = t_3 \end{eqnarray*}$ )

Dort kann ich ja nun den Ausdruck unterhalb der zweiten Wurzel zu entweder $\begin{eqnarray*} (s-z)^2 \end{eqnarray*}$ oder zu $\begin{eqnarray*} (z-s)^2 \end{eqnarray*}$ zusammenfassen, was mir natürlich unterschiedliche Ergebnisse liefert.

Desweiteren ist mir hier leider unklar, inwiefern es eine Rolle spielt, ob sich mein Vektor $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ innerhalb der Hohlkugel bzw. außerhalb der Hohlkugel bzw. in der Hohlkugel befindet. Dadurch ändert sich doch lediglich der Wert von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ .

Stehe da echt auf dem Schlauch und ich hoffe Jemand könnte/würde mir helfen unglücklich

.

MfG Soral Wink

03.01.2014, 13:03

Huggy

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Zitat:

Original von Sorall
Dort kann ich ja nun den Ausdruck unterhalb der zweiten Wurzel zu entweder $\begin{eqnarray*} (s-z)^2 \end{eqnarray*}$ oder zu $\begin{eqnarray*} (z-s)^2 \end{eqnarray*}$ zusammenfassen, was mir natürlich unterschiedliche Ergebnisse liefert.

Desweiteren ist mir hier leider unklar, inwiefern es eine Rolle spielt, ob sich mein Vektor $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ innerhalb der Hohlkugel bzw. außerhalb der Hohlkugel bzw. in der Hohlkugel befindet. Dadurch ändert sich doch lediglich der Wert von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ .

Man muss halt bei der Auflösung der zweiten Wurzel die richtige Variante wählen und die hängt eben davon ab, wo sich der Aufpunkt $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ befindet.

Das Wurzelsymbol bezeichnet definitionsgemäß eine nicht-negative Zahl. Befindet man sich nun im Bereich $\begin{eqnarray*} R \leq z \end{eqnarray*}$ , so ist im gesamten Integrationsbereich von $\begin{eqnarray*} s \quad z \geq s \end{eqnarray*}$ und man muss die Wurzel deshalb dort zu $\begin{eqnarray*} z - s \end{eqnarray*}$ auflösen. Ist $\begin{eqnarray*} z \leq r \end{eqnarray*}$ , so ist die Wurzel dagegen zu $\begin{eqnarray*} s -z \end{eqnarray*}$ aufzulösen.

Im Bereich $\begin{eqnarray*} r < z < R \end{eqnarray*}$ muss man nicht neu rechnen. Man unterteilt das Integral über $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ in ein Integral von $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ und ein Integral von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ . Man muss in die vorigen Ergebnisse dann nur $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ als obere bzw. untere Grenze einsetzen.

03.01.2014, 13:18

Sorall

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Achso okay smile

Da lag also die Fallunterscheidung Big Laugh

Danke Dir Huggy Gott

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