Vollständige Induktion mit 2 Variablen

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26.12.2013, 23:26	Cowboy	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion mit 2 Variablen Meine Frage: Moin. Ich soll folgende Gleichung beweisen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=0}^n q^{i} = \frac{q^{n+1} -1}{q-1} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} q\in \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} q\neq 1 \end{eqnarray}$ Den Induktionsanfang habe ich wie folgt bestimmt: n=1 q=2 I.A.: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=0}^1 q^{1} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} 2^{0} + 2^{0} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} 1+2 \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{3}{1} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{4-1}{1} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{2^{2} -1}{1} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{2^{1+1} -1}{2-1} \end{eqnarray}$ I.V.: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=0}^n q^{i} = \frac{q^{(n+1)+1} -1}{q-1} \end{eqnarray}$ Und hier ist schon meine Frage: Wie mache ich weiter? muss ich auch das q mit (q+1) ersetzen mit I.S.:? Meine Ideen: Mein Ansatz für den I.S.: Es gelte: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=0}^{n+1} (q+1)^{n+1} \end{eqnarray}$ Zu zeigen: $\begin{eqnarray} \frac{(q+1)^{(n+1)+1} -1}{(q+1)-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=0}^{n+1} (q+1)^{n+1} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} (q+1)^{n+1}+ \sum\limits_{i=0}^{n} (q+1)^{n+1} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} (q+1)^{n+1}+ \frac{q^{(n+1)+1}}{(q+1)-1} \end{eqnarray}$
27.12.2013, 00:10	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Da die Aussage für alle $\begin{eqnarray} q\in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ gelten soll, wirst Du schlecht eine Induktion über q nutzen können. Es genügt hier aber q als fest anzunehmen und die Formel per Induktion nach n zu zeigen.
27.12.2013, 00:12	mengi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die Induktion ist hier nur über n. q ist irgendeine reelle Zah, keine natürliche.
27.12.2013, 04:41	Cowboy	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hilfe. Habe mir jetzt mal was zusammengebastelt für den I.S. Es gelte: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=0}^{n+1} q^{i} \end{eqnarray}$ Zu zeigen ist: $\begin{eqnarray} \frac{ q^{(n+1)+1}-1}{q-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=0}^{n+1} q^{i} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} q^{n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=0}^{n} q^{i} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} q^{n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{q^{n+1}-1}{q-1} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{ q^{n+1}+q^{n+1}-1}{q-1} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{ q^{n+2}-1}{q-1} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{ q^{(n+1)+1}-1}{q-1} \end{eqnarray}$
27.12.2013, 04:49	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso multiplizierst du hier? Es muss addiert werden. $\begin{eqnarray} q^{n+1}+\frac{q^{n+1}-1}{q-1} \end{eqnarray}$ Deine nachfolgenden Rechenschritte sind auch konfus. Da stecken einige Fehler drin.
27.12.2013, 12:05	Cowboy	Auf diesen Beitrag antworten »
Da lag ja auch mein Problem, sodass ich mir einfach etwas aus den Fingern gesaugt habe^^ Hier mein neuer Ansatz, wobei ich auch hier nicht weiterkomme: $\begin{eqnarray} q^{n+1} + \frac{q^{n+1} -1}{q-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{q^{n+1} + q^{n+1} -1}{q-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{ 2q^{n+1} -1}{q-1} \end{eqnarray}$ Meine 2. Variante: $\begin{eqnarray} q^{n+1} + \frac{q^{n+1} -1}{q-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{q^{n+1} q-1}{q-1} + \frac{q^{n+1} -1}{q-1} \end{eqnarray*}$ Doch hier wüsste ich auch nicht, wie ich weiter machen soll. Ich glaube nicht, dass ich auf diese Weise auf das richtige Ergebnis komme
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27.12.2013, 12:17	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine zweite Variante kommt schon näher an die richtige Lösung ran. Leider scheinen dir ein paar Grundlagen der Bruchrechnung zu fehlen. Du musst natürlich zu erst mit dem Hauptnenner erweitern, damit du addieren kannst. Das tust du auch, aber du unterschlägst die Klammerung: $\begin{eqnarray} \frac{q^{n+1}(q-1)}{q-1}+\frac{q^{n+1}-1}{q-1} \end{eqnarray}$ Nun kannst du es als ein Bruch schreiben: $\begin{eqnarray} \frac{q^{n+1}(q-1)+q^{n+1}-1}{q-1} \end{eqnarray}$ und bist fast am Ziel. Du brauchst jetzt nur noch im Zähler zu vereinfachen. Dann erhältst du das gewünschte Ergebnis.
27.12.2013, 19:46	Cowboy	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut. Habe jetzt folgendes gemacht: $\begin{eqnarray} \frac{q^{n+1}(q-1)+q^{n+1}-1}{q-1} \end{eqnarray}$ (q-1) aufgelöst: $\begin{eqnarray} \frac{q^{((n+1)+1}- q^{n+1}+q^{n+1}-1}{q-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{q^{((n+1)+1}- q^{n+1}+q^{n+1}-1}{q-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{q^{((n+1)+1}-1}{q-1} \end{eqnarray}$
27.12.2013, 19:55	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
genau so geht's

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