Vervollständigung des Zahlensystems durch Hauptsatz der Algebra abgeschlossen?

27.12.2013, 18:47

Duude

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Vervollständigung des Zahlensystems durch Hauptsatz der Algebra abgeschlossen?

Hallo,
bei der Vervollständigung des Zahlensystems begannen wir ja bei den natürlichen Zahlen, gingen über die ganzen zu den rationalen zu den reellen und dann zu den komplexen über, da jeweils bestimmte Gleichungen keine Lösungen hatten.

Nun gibt es den Hauptsatz der Algebra der besagt, dass jedes Polynom über den komplexen Zahlen mindestens eine Nullstelle hat.
Durch Faktorisieren eines Polynoms erhält man also eine vollständige Zerlegung in Linearfaktoren
$\begin{eqnarray*} f(z)=(z-z_1)(z-z_2) \ldots (z-z_n) \end{eqnarray*}$ .

stimmt es, dass daraus folgt, dass das Zahlensystem nun vollständig ist? Man kann ja jede Gleichung in C so umformen, dass auf einer Seite nur die 0 steht, also die Suche nach einer Lösung der Gleichung auf die Suche nach Nullstellen eines Polynoms über C reduzieren.

Damit wüssten wir, dass wir nun am Ende sind.

Ich bin mir nicht sicher, ob ich das so richtig verstanden habe, deshalb frage ich.
lg

27.12.2013, 18:59

mengi

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Hallo,

was verstehst du denn unter einem vollständigem Zahlensystem bzw. der Vervollständigung des Zahlensystems?
Ich habe die Begirffe noch nie gehört, mein google auch nciht.

Zitat:

Nun gibt es den Hauptsatz der Algebra der besagt, dass jedes Polynom über den komplexen Zahlen mindestens eine Nullstelle hat.

Hier fehlt ein entscheidendes Wort:
jedes nichtkonstante Polynom

28.12.2013, 00:09

Duude

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Zitat:

Hier fehlt ein entscheidendes Wort: jedes nichtkonstante Polynom

Stimmt natürlich z.B. p(x)=3 ist ja auch ein Polynom, hat aber keine Nullstelle über den komplexen Zahlen.

Zitat:

was verstehst du denn unter einem vollständigem Zahlensystem bzw. der Vervollständigung des Zahlensystems?

Naja, also mein Prof versteht in dem Aufschrieb darunter, dass der Körper der komplexen Zahlen algebraisch abgeschlossen ist und man C nicht noch weiter "erweitern" muss, um z.B neben den Nullstellen von $\begin{eqnarray*} z^2+1 \end{eqnarray*}$ auch die von $\begin{eqnarray*} z^3+1 \end{eqnarray*}$ zu finden.

Ich meine auch das folgende: (bin mir noch nicht so sicher, ob das dasselbe ist)
Zuvor kam man ja z.B. von den natürlichen zu den ganzen Zahlen, weil bestimmte Gleichungen keine Lösungen hatten. Also ist Z sozusagen eine "Erweiterung" von N.

In C hat nun nach dem Fundamentalsatz der Algebra jedes nichtkonstante Polynom eine Nullstelle, wir brauchen also keine "Erweiterung" von C mehr, da wir in C alle lösbaren Gleichungen lösen können, ohne neue Zahlen einführen zu müssen. Das heißt, es gibt keine "Erweiterung" von C mehr. (Es sei denn, es gibt eine, die ich noch nicht kenne, was dann aber meinen Überlegungen hier widersprechen würde)

Ich hoffe, du verstehst, was ich meine?

28.12.2013, 00:33

mengi

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Wenn es dir darum geht (polynomielle) Gleichung mit Koeffizienten aus den natürlichen Zahlen (algebraisch) zu lösen genügt ein deutlich kleiner Körper:
de.wikipedia.org/wiki/Algebraische_Zahl
(der ist abzählbar im Gegensatz zu den komplexen Zahlen.)

Die Vorteile der komplexen Zahlen sind eher analytischer als algebraischer Natur.

28.12.2013, 10:25

Elvis

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Es gibt hier zwei sehr unterschiedliche Begriffe, die man nicht durcheinander bringen darf, nämlich "vollständig" und "algebraisch abgeschlossen".

$\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist die vollständige Hülle von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , weil jede rationale Cauchyfolge bezüglich des Absolutbetrages |.| einen reellen Grenzwert hat.
$\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist vollständig, weil jede reelle Cauchyfolge bezüglich des Absolutbetrages |.| einen reellen Grenzwert hat.

$\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist die algebraische Hülle von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , weil jedes reelle Polynom eine reelle oder komplexe Nullstelle hat.
$\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist algebraisch abgeschlossen, weil jedes komplexe Polynom eine komplexe Nullstelle hat.

Außerdem ist $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ vollständig, weil jede Cauchyfolge bezüglich |.| konvergiert, also einen komplexen Grenzwert hat. Deshalb ist ein umfassenderes Zahlensystem über den komplexen Zahlen nicht möglich.

28.12.2013, 12:57

Louis1991

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Ich würde $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ allerdings nicht als die vollständige Hülle von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ bezeichnen. Eher als eine (wenn auch ausgezeichnete) vollständige Hülle, beziehungsweise die Komplettierung bezüglich des archimedischen Absolutbetrages auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Das heißt, es gibt keine "Erweiterung" von C mehr. (Es sei denn, es gibt eine, die ich noch nicht kenne, was dann aber meinen Überlegungen hier widersprechen würde)

Außerdem gibt es immernoch (unendlich viele) Erweiterungen der komplexen Zahlen (z.B. den Körper der rationalen Funktionen über $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ). Diese Erweiterungen sind transzendent (da C algebraisch abgeschlossen) und auch andere Eigenschaften können verloren gehen. Trotzdem ist es also keineswegs so, dass "nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ nichts mehr kommt".

Und dann gibt es da noch die Quaternionen und Okternionen (schreibt man die so?). Das sind zwar keine Körper, aber endlich dimensionale Divisionsalgebren über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , also ziemlich nah dran an einem Körper (hier fehlt Kommutativität, bzw. bei den Okternionen glaube ich auch Assoziativität), und im Gegensatz zu oben genannten Erweiterungen eben endlich dimensional über $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

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28.12.2013, 13:09

Che Netzer

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Zitat:

Original von Louis1991
Und dann gibt es da noch die Quaternionen und Okternionen (schreibt man die so?).

Eigentlich Oktonionen.

Zitat:

also ziemlich nah dran an einem Körper (hier fehlt Kommutativität, bzw. bei den Okternionen glaube ich auch Assoziativität)

Naja, fehlende Assoziativität (der Multiplikation) ist schon recht weit weg von einem Körper, würde ich sagen.
Und bei den Sedenionen tauchen dann ja sogar noch Nullteiler auf.

28.12.2013, 13:23

Louis1991

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Immerhin gibt es zu jedem Nichtnullelement Inverse. In der Welt, in der ich mich normalerweise bewege, ist das hinreichend, um Körper zu sein. Allerdings ist diese Welt auch kommutativ und assoziativ.

Und für die Lösbarkeit von Gleichungen sind doch Inverse gerade wichtig. Wie auch immer, ich bin offensichtlich kein Experte für Divisionsalgebren (ich kenne die nur als Anwendung um ein paar nichttriviale höhere Homotopiegruppen von Sphären zu berechnen), aber in gewissen Sinne sind sie eben auch "Erweiterungen" des Zahlensystems C. Die Frage in diesem Thread ist also höchst unpräzise, und ich wollte nur etwas ausleuchten, in welche Richtungen man noch weitergehen kann (zumindest 3 habe ich im oberen Post angedeutet).

Edit: Zum Thema interessant ist sicher auch das Buch "Zahlen" von Ebbinghaus et al.

28.12.2013, 18:04

Elvis

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Ich präzisiere:

1. $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist die vollständige Hülle bezüglich $\begin{eqnarray*} |.|_{\infty} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , und für jede Primzahl $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_p \end{eqnarray*}$ die vollständige Hülle von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ bezüglich $\begin{eqnarray*} |.|_p \end{eqnarray*}$ (das war's dann aber auch (Ostrowski) ) .

2. Es gibt (außer $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ) keine Zahlkörper über $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ . Es gibt viele andere interessante Strukturen über $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ . Siehe Ebbinghaus et.al. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.12.2013, 19:47

Duude

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Erstmal danke für die vielen Antworten.

Ich sehe dass ich meine Frage wohl unpräzise gestellt habe.

Worauf ich hinauswollte war das:

Zitat:

Es gibt (außer $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ) keine Zahlkörper über $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$

Ich fasse mal noch zusammen, wie ich das alles verstanden habe:

Erweiterungen über den komplexen Zahlen gibt es wohl, aber keinen Zahlkörper in der Art wie ich $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ als eine Erweiterung von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ verstanden habe.

Allerdings gibt es nur transzendente Erweiterungen. Denn jede algebraische Zahl kann ich (nach dem Hauptsatz der Algebra) erhalten als Nullstelle eines nichtkonstanten Polynoms mit Koeffizienten in den komplexen Zahlen über den komplexen Zahlen.

30.12.2013, 19:55

mengi

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Was verstehst du denn unter einem Zahlkörper?

Ich kenne nur die Definition als endliche Körpererweiterung über den reellen Zahlen.

In diesem Sinne sind die reellen Zahlen kein Zahlkörper, die Erweiterung ist nicht-allgebraisch und damit nicht endlich.

31.12.2013, 10:04

Elvis

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@Duude
Das hast du noch nicht ganz verstanden. Der komplexe Zahlkörper $\begin{eqnarray*} \mathbb C =\mathbb R(i) \end{eqnarray*}$ ist eine algebraische Erweiterung des reellen Zahlkörpers $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Nach dem Fundamentalsatz der Algebra ist $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ algebraisch abgeschlossen. Weil jede komplexe Cauchyfolge konvergiert, ist $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ auch vollständig. Wegen dieser beiden Eigenschaften (agebraisch abgeschlossen und vollständig) kann es keinen $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ echt umfassenden Zahlkörper geben.
Körpererweiterungen über $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ sind möglich, z.B. der Funktionenkörper $\begin{eqnarray*} \mathbb C(X) \end{eqnarray*}$ , aber das ist eben kein Zahlkörper mehr. Wenn man auch noch auf Körpereigenschaften verzichtet, sind viele Erweiterungen möglich, insbesondere Divisionsalgebren und so weiter.

@mengi
"Es gibt mehr Dinge zwischen Himmel und Erde ..."
Zahlkörper sind endliche und unendliche, algebraische und nichtalgebraische Körpererweiterungen von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , die als algebaische Körpererweiterungen oder Vervollständigungen konstruiert werden. Selbstverständlich ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ als vollständige Hülle der rationalen Zahlen ein Zahlkörper.

31.12.2013, 10:12

mengi

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@Elvis:
wikipedia widerspricht dir zum Beispiel:
/de.wikipedia.org/wiki/Algebraischer_Zahlk%C3%B6rper

Ich habe extra dazu geschrieben, dass es mein Kenntnisstand ist.
Spar dir bitte diese kommentare von oben herab.

31.12.2013, 10:53

Che Netzer

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Zitat:

Original von mengi
Spar dir bitte diese kommentare von oben herab.

Ich weiß nicht, ob sich durch das Editieren etwas geändert hat, aber ich kann keine Kommentare "von oben herab" erkennen.

31.12.2013, 11:00

Elvis

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@mengi
Du hast von endlichen Körpererweiterungen über den reellen Zahlen gesprochen. Da gibt es nur die komplexen Zahlen.
Wikipedia spricht von Zahlkörpern als Synonym für endliche algebraische Zahlkörper über den rationalen Zahlen.
Das verstehe ich nicht. Ich weiß nicht, warum ein Zahlbereich, der ein Körper ist, nicht Zahlkörper heißen soll.

31.12.2013, 11:09

mengi

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Zur Klarstellung:
Das angerissene Hamlet-Zitat:

Zitat:

Es gibt mehr Dinge zwischen Himmel und Erde, als Eure Schulweisheit sich träumen läss

finde ich in einer Diskussion um Definitionen völlig unangebracht.

Zitat:

Ich weiß nicht, warum ein Zahlbereich, der ein Körper ist, nicht Zahlkörper heißen soll.

Und ich wüßte nicht warum er so heißen sollte.

Zitat:

Du hast von endlichen Körpererweiterungen über den reellen Zahlen gesprochen. Da gibt es nur die komplexen Zahlen.

Sorry das war ein Tippfehler, meinte natürlich rationale Zahlen.

31.12.2013, 11:23

Elvis

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Die Bezeichnung "Zahlkörper" ist nicht einheitlich. Häufig spricht man von "Zahlkörper" in deinem Sinne, wenn man algebraische Zahlentheorie macht. Häufig spricht man von "Zahlkörper" in meinem Sinne, wenn man Zahlentheorie macht (z.B. hier: http://fma2.math.uni-magdeburg.de/~mathww/azt2013/ )

31.12.2013, 11:33

mengi

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Was soll der Link sagen?

p-adische Zahlkörper ist ein zusammenhängender Begriff .
Und p-adische Zahlkörper sind sehr wohl Gegenstand der algebraischen Zahlentheorie, siehe etwa das Standardwerk von Neukirch.

Zitat:

Die Bezeichnung "Zahlkörper" ist nicht einheitlich.

Habe ich das jemals behauptet?
Zum wiederholten Male: Ich habe den Threadersteller gefragt was er unter einem Zahlkörper versteht. Und geschrieben was ich darunter verstehe.

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