Reihe

28.12.2013, 02:54

MatheIllusionist

Reihe

Grüß Gott,

Ich soll den Wert dieser Reihe berechnen

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k \end{eqnarray*}$

Wie macht man das genau? Bedeutet das einfach $\begin{eqnarray*} 1+2+3+4 \end{eqnarray*}$ usw.? Wenn ja dann hab ich $\begin{eqnarray*} -1/12 \end{eqnarray*}$ raus. Also

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k = -\frac{1}{12} \end{eqnarray*}$

Stimmt das?? Berechnet man das so korrekt?

LG

28.12.2013, 03:10

Mulder

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RE: Reihe

Zitat:

Original von MatheIllusionist
Wie macht man das genau? Bedeutet das einfach $\begin{eqnarray*} 1+2+3+4 \end{eqnarray*}$ usw.? Wenn ja dann hab ich $\begin{eqnarray*} -1/12 \end{eqnarray*}$ raus.

Mal rein von der Logik her: Wir haben es hier mit durchgehend positiven ganzen Zahlen zu tun. Von denen bildest du die Summe. Und das Ergebnis soll dann -1/12 sein? Findest du nicht, dass das nachgerade unsinnig ist? Augenzwinkern

Wie bist du darauf eigentlich gekommen?

Gaußsche Summenformel

Ein etwaiges Ergebnis wird ja unweigerlich von n abhängig sein müssen. Nach deinem Resultat wäre z.B.

$\begin{eqnarray*} 1+2= - \frac{1}{12} \end{eqnarray*}$

und auch

$\begin{eqnarray*} 1+2+3 = - \frac{1}{12} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} 1+2+3+4 = - \frac{1}{12} \end{eqnarray*}$

und so weiter und so fort. Diese Summenschreibweise ist wohl noch nicht so ganz klar geworden, denke ich.

28.12.2013, 04:44

MatheIllusionist

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Hallo, danke für die Antwort smile

Also ich hab das einfach so gerechnet das ich es umgeschrieben habe in

$\begin{eqnarray*} -\frac{\partial }{\partial \epsilon} \sum\limits_{k=1}^n e^{-n\epsilon } = \sum\limits_{k=1}^n n e^{-n\epsilon } \end{eqnarray*}$
(mit der e-Funktion dran multipliziert die ja gegen null geht irgendwann)
Dann $\begin{eqnarray*} e^{-n\epsilon } \end{eqnarray*}$ umgeschrieben und angenähert, aber nur bis zum quadratischen Term sonst isses to kompliziert glaub ich.

$\begin{eqnarray*} e^{-k\epsilon } = e^{\epsilon }(1+e^{-\epsilon }+e^{2\epsilon} \end{eqnarray*}$

Das ergibt laut Adam Riese:

$\begin{eqnarray*} -\frac{\partial }{\partial \epsilon} \frac{e^{-\epsilon} }{1-e^{-\epsilon}} \end{eqnarray*}$

Dann von Zähler und Nenner eine Annäherung(sonst zu komplex wieder):

$\begin{eqnarray*} -\frac{\partial }{\partial \epsilon} \frac{1}{\epsilon}\frac{1-\epsilon+\frac{\epsilon^{2} }{2}}{1-\frac{\epsilon^{2} }{2}+\frac{\epsilon^{2} }{6} } \end{eqnarray*}$

Dann noch mal umgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} -\frac{\partial }{\partial \epsilon} \frac{1}{\epsilon}(1-\epsilon +\frac{\epsilon^{2} }{2})(1+\frac{\epsilon}{2} +\frac{\epsilon^{2} }{6}+\frac{\epsilon^{2} }{4}) \end{eqnarray*}$

Noch umgeschrieben(jetzt nur noch zur besseren Übersicht):

$\begin{eqnarray*} -\frac{\partial }{\partial \epsilon} \frac{1}{\epsilon}(1+\frac{\epsilon}{2} +\frac{\epsilon^{2} }{12}-\epsilon-\frac{\epsilon^{2}}{2} + \frac{\epsilon^{2} }{2} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{\partial }{\partial \epsilon} \frac{1}{\epsilon}(1-\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon^{2} }{12}) \end{eqnarray*}$

Dann noch Ableiten:

$\begin{eqnarray*} -\frac{\partial }{\partial \epsilon} \frac{1}{\epsilon}(1-\frac{\epsilon^{2} }{12})= \frac{1}{\epsilon^{2}}-\frac{1}{12} \end{eqnarray*}$

Dann jetzt epsilon gegen unendlich gehen lassen(muss ja wieder veschwinden wegen der ursprünglichen Formel):

Gibt -1/12

Also ich bin mir nicht sicher ob man das normalerweise so macht, aber ich frage nach den Ferien noch mal meinen Tutor. Danke für den Antwort jedenfalls

Frohe Feiertage noch smile

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