Produkt von Einheitsvektoren

28.12.2013, 12:46	Verwirrter Mathefan	Auf diesen Beitrag antworten »
Produkt von Einheitsvektoren Meine Frage: Hallo Leute, ich habe eine (für euch vermutlich ziemlich einfache) Frage bezüglich des Produkts von Basisvektoren. Was ich nicht verstehe ist: Warum gilt $\begin{eqnarray} e_1 \cdot e_2 = 0 \end{eqnarray}$ ? Ist diese Verknüpfung überhaupt ein Skalarprodukt oder ist es einfach reine Definitionssache? Oder ist diese Regelung überhaupt nicht allgemeingültig, sondern gilt nur für Orthonormalbasis? Würde mich sehr darüber freuen, wenn mich da mal jemand aufklären könnte. Grüße Verwirrter Mathefan Meine Ideen: Zum Beispiel habe ich die Basisvektoren $\begin{eqnarray} e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}; ~ e_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}; ~ e_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und die Vektoren $\begin{eqnarray} a = a_1 \cdot e_1 + a_2 \cdot e_2 + a_3 \cdot e_3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b = b_1 \cdot e_1 + b_2 \cdot e_2 + b_3 \cdot e_3 \end{eqnarray}$ , die in dieser Basis beschrieben sind. Wenn ich jetzt Produkt dieser beiden Vektoren bilden möchte erhalte ich doch folgendes: $\begin{eqnarray} a \cdot b = (a_1 \cdot e_1 + a_2 \cdot e_2 + a_3 \cdot e_3) \cdot (b_1 \cdot e_1 + b_2 \cdot e_2 + b_3 \cdot e_3) = \newline<br /> a_1b_1 \cdot e_1e_1 + a_1b_2 \cdot e_1e_2 + ... + a_3b_3 \cdot e_3e_3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e_1 \cdot e_2 = -1 \end{eqnarray}$ ???
28.12.2013, 14:41	MathLee	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn zwei Vektoren orthogonal zueinander sind, beträgt das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren 0.
28.12.2013, 14:42	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Produkt von Einheitsvektoren (vermutlich) sind die anfangs zitierten vektoren orthonormiert/orthogonal, was auf dein beispiel nicht zutrifft
28.12.2013, 15:13	Verwirrter Mathefan	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. Hab ich mir gleich gedacht. Mich haben viele Beschreibungen, wie die von Wikipedia (Skalarprodukt in kartesischen Koordinaten), verwirrt, da es dort heißt, dass oben erwähntes Produkt für kartesische Koordinaten gilt (bei Verwendung der kanonischen Einheitsvektoren). Aber man kann doch auch in diesem Koordinatensystem andere Basisvektoren festlegen oder nicht? Ich versuche mich nur gerade mit Tensoren anzufreunden und bin mir ziemlich dumm vorgekommen, dass ich nicht einmal diese Grundlage in den Griff bekomme. Weil die Basis muss doch für den Raum beliebig gewählt werden können, wenn man später in andere Koordinatensysteme/Räume transformieren möchte? Kann es sein, dass ich die Begriffe Koordinatensystem und Raum etwas durcheinanderwerfe und die Einheitsvektoren im kartesischen Koordinatensystem lediglich in Richtung der Koordinatenachsen zeigen können?

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