Extremwertberechnung mit e-Funktion als Nebenbedingung nach Lagrange

28.12.2013, 20:35

ÄX

Extremwertberechnung mit e-Funktion als Nebenbedingung nach Lagrange

Meine Frage:
AUFGABE:
"Ein Quader soll zwischen die xy-Ebene und der Funktion $\begin{eqnarray*} f: R^2 \Rightarrow R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x,y) = e^{-(x^{2} + y^{2} )} \end{eqnarray*}$ einbeschrieben werden, wobei das Volumen maximal werden soll. Verwenden Sie die Methode nach Lagrange."

Hier eine (versuchte) Zeichnung als Hilfestellung, wie ihr euch das vorzustellen habt. Die e-Funktion bildet eine Art Teppich oder Kuppel über dem Quader. Leider nur als Link, aber kann auch in Google eingegeben werden. Dort wird die e-Funktion in 3D geplottet, achtet allerdings auf die Skalierung:

https://www.dropbox.com/s/10sncfmm3wz9sr...0e-funktion.jpg

Meine Ideen:
BEMERKUNG VORAB:
Im Internet finde ich leider keine Vorgehensweise, die dieses spezifische Problem löst, sondern eher leichtere Aufgaben (wie ich persönlich finde) mit konkreten Zahlenwerten, die nach Lagrange gelöst werden.
Deshalb bitte... keine unnötig lange Erklärungen oder Ratschläge, sondern einfach mal ausführlich Schritt für Schritt durch- bzw. weiterrechnen! Die Erklärung ergibt sich daraus... und falls für mich doch noch etwas unklar ist, frage ich nochmal nach. Ich bedanke mich schonmal im Voraus!

MEIN ANSATZ:

Hauptbedingung ist das Volumen des Quaders, hier:

$\begin{eqnarray*} V = 2x * 2y * z = 4xyz \end{eqnarray*}$

(2x und 2y deshalb, weil die Grundfläche des Quaders mittig auf dem Koordinatenursprung liegt, siehe eigene Zeichnung oben)

Nebenbedingung ist die e-Funktion, hier:

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = e^{-(x^{2} + y^{2} )} \end{eqnarray*}$

Lagrange-Funktion, hier:

$\begin{eqnarray*} L(x,y,z,\lambda) = 4xyz + \lambda e^{-(x^{2} + y^{2} )} \end{eqnarray*}$

Partielle Ableitungen der Lagrange-Funktion nach x, y, z und Lambda bilden und mit Null gleichsetzen:

1.) $\begin{eqnarray*} L'x = 4yz - 2x\lambda e^{-(x^{2} + y^{2} )} = 0 \end{eqnarray*}$
2.) $\begin{eqnarray*} L'y = 4xz - 2y\lambda e^{-(x^{2} + y^{2} )} = 0 \end{eqnarray*}$
3.) $\begin{eqnarray*} L'y = 4xy = 0 \end{eqnarray*}$
4.) $\begin{eqnarray*} L'\lambda = e^{-(x^{2} + y^{2} )} = 0 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass bis hierher alles stimmt...? Ab hier komme ich nicht mehr weiter... ich kann das Gleichungssystem nicht lösen.

28.12.2013, 23:53

Dopap

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RE: Extremwertberechnung mit e-Funktion als Nebenbedingung nach Lagrange
du meinst:

1.) $\begin{eqnarray*} L'_x = 4yz - 2x\lambda e^{-(x^{2} + y^{2} )} = 0 \end{eqnarray*}$
2.) $\begin{eqnarray*} L'_y = 4xz - 2y\lambda e^{-(x^{2} + y^{2} )} = 0 \end{eqnarray*}$
3.) $\begin{eqnarray*} L'_z = 4xy = 0 \end{eqnarray*}$
4.) $\begin{eqnarray*} L'_\lambda = e^{-(x^{2} + y^{2} )} = 0 \end{eqnarray*}$

Gleichung 4 stimmt mich bedenklich. Die ist nie Null. Die Nebenbedingung ist radiussymmetrisch.
Das wäre vielleicht ein Ansatz. verwirrt

29.12.2013, 02:25

Helferlein

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Wie Dopap richtig vermutet liegt der Fehler in der Nebenbedingung. ÄX hat nur eine Funktion angegeben, nicht aber die erforderliche Null-Gleichung.
Richtig wäre z-f (x, y)=0

05.01.2014, 23:18

ÄX

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RE: Extremwertberechnung mit e-Funktion als Nebenbedingung nach Lagrange
Klar, die 3. Gleichung sollte natürlich L'z heißen. Aber richtig nach z abgeleitet, ist es glaube ich trotzdem...?
Und die Gleichung 4 habe ich halt einfach mal gleich Null gesetzt, weil ich dachte, dass es die allgemeine Vorgehensweise wäre...

---------------------------------
Edit(Helferlein): Beiträge ab hier zusammengefügt.
Nachtrag(23:29 Uhr)

Zitat:

Original von Helferlein
Wie Dopap richtig vermutet liegt der Fehler in der Nebenbedingung. ÄX hat nur eine Funktion angegeben, nicht aber die erforderliche Null-Gleichung.
Richtig wäre z-f (x, y)=0

Meinst du, dass folglich deiner Gleichung die Höhe z des Quaders gleich die Nebenbedingung ist?

$\begin{eqnarray*} z = e^{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

06.01.2014, 00:10

Helferlein

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Deine Lagrangefunktion hast Du richtig nach z abgeleitet, nur ist das leider nicht die Lagrangefunktion, die zur Aufgabe gehört (Siehe mein Posting von oben).

Da die Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} z-e^{x^2+y^2}=0 \end{eqnarray*}$ lautet, ist auch die Lagrangefunktion entsprechend anders: $\begin{eqnarray*} L(x,y,z,\lambda)=4xyz+\lambda(z-e^{x^2+y^2}) \end{eqnarray*}$ .

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