kombinatorik kartenspiel

28.12.2013, 21:58

andyrue

kombinatorik kartenspiel

hallo, eine andere aufgabe hier hat mich auf ein problem aus einem mathebuch gebracht.

zwei gleiche kartenspiele bestehen aus jeweils 32 verschiedenen karten.

vom ersten spiel werden alle karten offen auf den tisch gelegt.

nun wird auf jede karte des ersten spiels genau eine karte des zweiten spiels gelegt. allerdings dürfen nie zwei gleiche karten übereinander liegen.

wieviele möglichkeiten gibt es?

durch probieren bin ich drauf gekommen:

wenn es zwei karten wären, gibt es genau eine möglichkeit
wenn es drei karten wären, gäbe es 2 möglichkeiten
bei 4 karten wären es 9 möglichkeiten

gibt es eine formel für n karten? thx andy

28.12.2013, 22:42

Dopap

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das firmiert unter fixpunktfreier Permutation.

die Anzahl wäre hier: $\begin{eqnarray*} d_{32}=32! \sum_{k=0}^{32}\frac {(-1)^k}{k!} \end{eqnarray*}$

Interessant ist, dass die Wkt für eine fixpunktfeie Permutation rasch gegen $\begin{eqnarray*} \frac 1e \end{eqnarray*}$ konvergiert.

30.12.2013, 02:19

andyrue

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in dem zusammenhang eine frage an euch, für kommentare bin ich dankbar, 1. ob ich richtig liege und 2. ob es nicht eleganter geht:

es geht in einem anderen thread hier um 20 vergrabene gegenstände und den erwartungswert, wieviele teilnehmer
durchschnittlich ihren gegenstand wiederfinden (=treffer), also um den erwartungswert.

bin das problem angegangen:

man muss die wahrscheinlichkeit jedes einzelnen ereignisses (0 treffer, 1 treffer ... 20 treffer) ausrechnen,
dann ist der erwartungswert leicht auszurechen.

$\begin{eqnarray*} P(X=20)= \frac{1}{20!} \end{eqnarray*}$ ist noch leicht,
$\begin{eqnarray*} P(X=19)=0 \end{eqnarray*}$ weils ein unmögliches ereignis ist,

aber dann muss ich noch
$\begin{eqnarray*} P(X=18), P(X=17),P(X=16), ...P(X=1), P(X=0) \end{eqnarray*}$
ausrechnen.

ich nehme jetzt mal $\begin{eqnarray*} P(X=13) \end{eqnarray*}$ :

es gibt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 20 \\ 13 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten, für 13 treffer von 20.

kann man zu jeder einzelnen dieser möglichkeiten die nichttreffer wiederspruchsfrei auf $\begin{eqnarray*} d_{7} \end{eqnarray*}$
möglichkeiten (so dass es keine zusätzlichen treffer gibt) anordnen.

das heißt es gäbe $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 20 \\ 13 \end{pmatrix}\cdot d_{7} \end{eqnarray*}$ möglichkeiten, 13 treffer zu haben.

Die WSK für 13 treffer wäre also $\begin{eqnarray*} P(X=13)=\frac{\begin{pmatrix} 20 \\ 13 \end{pmatrix} \cdot d_{7} }{20!} \end{eqnarray*}$

ist das richtig? andy

30.12.2013, 10:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von andyrue
es geht in einem anderen thread hier um 20 vergrabene gegenstände und den erwartungswert, wieviele teilnehmer
durchschnittlich ihren gegenstand wiederfinden (=treffer), also um den erwartungswert.

Wenn es nur um den Erwartungswert geht, dann benötigt man nicht notwendig die hier relativ komplizierten Einzelwahrscheinlichkeiten, es geht auch einfacher über den Erwartungswert einer Summe von Indikatorfunktionen:

Gegenstände bei Ausgrabung wiederfinden

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