Grenzwertberechnung

29.12.2013, 00:16

MatheErsti123

Grenzwertberechnung

Hallo, ich sitze vor folgender Aufgabe:
Berechnen Sie den Grenzwert von ( $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ ) mit $\begin{eqnarray*} x_n=\sqrt{n^2+n}-n \end{eqnarray*}$ , falls dieser existiert.

Mein erster Ansatz war über die Monotonie und Beschränktheit zu argumentieren, jedoch habe ich lediglich bestimmen können, dass diese Folge streng monoton wachsend ist, da:
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{(n+1)^2+n+1}-n-1 }{\sqrt{n^2+n}-n } = \frac{\sqrt{n^2+3n+2}-n-1 }{\sqrt{n^2+n}-n } \geq 1 \end{eqnarray*}$ gilt, da $\begin{eqnarray*} \sqrt{2n+2}-1>0 \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt.

Die Beschränktheit konnte ich leider nicht zeigen, deshalb habe ich dann überlegt stattdessen das Einschließungskriterium zu benutzen.

Ich habe $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+x+1/4} \end{eqnarray*}$ nach oben abgeschätzt und da mir keine sinnvolle Abschätzung nach unten eingefallen ist, ich jedoch streng monotones Wachstum gezeigt habe, mit dem 1000. Folgenglied nach unten abgeschätzt und somit folgende Abschätzung erhalten: $\begin{eqnarray*} 0,4998<x_n\leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
und somit gefolgert, dass $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ in diesem Intervall und vermutlich gegen 0,5 konvergieren muss.

Meine Bitte ist nun, dass ihr mir zeigt wie man das Ganze mathematisch korrekter und genauer macht.

Vielen Dank im Vorraus
Gruß MatheErsti

29.12.2013, 00:22

Iorek

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Eine Folge dieser Bauart schreit geradezu danach, mit der dritten binomischen Formel erweitert zu werden. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} x_n=\sqrt{n^2+n}-n=\frac{(\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n}=\ldots \end{eqnarray*}$

29.12.2013, 00:38

MatheErsti123

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Vielen Dank für deine Antwort.

Das führt mich zu $\begin{eqnarray*} \frac{n}{\sqrt{n^2+n} +n} \end{eqnarray*}$ . Leider weiß ich an dieser Stelle nicht, wie ich das nun weiter umformen sollte. Oder ist der Trick nun durch $\begin{eqnarray*} \frac{n}{\sqrt{n^2+n} +n+1} \geq \frac{n}{\sqrt{(n+\frac{1}{2})^2 }+n } =\frac{n}{2n+\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$ eine Abschätzung nach unten zu erhalten?

29.12.2013, 00:52

Iorek

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In $\begin{eqnarray*} \frac {n}{\sqrt{n^2+n}+n} \end{eqnarray*}$ kannst du nun ähnlich zu rationalen Folgen vorgehen. Klammer unter der Wurzel $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ und nutze die Wurzelgesetze um später im Nenner $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ausklammern zu können.

29.12.2013, 01:13

MatheErsti123

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Achso, kann ich das dann folgendermaßen machen ?
$\begin{eqnarray*} \frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n }= \frac{n}{\sqrt{n^2}*\sqrt{1+\frac{1}{n} }+n } =\frac{n}{n*(\sqrt{1+\frac{1}{n} }+1) } =\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n} }+1 } \end{eqnarray*}$

Und somit folgt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt{n^2+n}-n = \lim_{n \to \infty } \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n} +1} } = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} = 0 \end{eqnarray*}$ .

29.12.2013, 11:32

Iorek

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Zitat:

Original von MatheErsti123
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt{n^2+n}-n = \lim_{n \to \infty } \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n} +1} } \end{eqnarray*}$

Ich vermute, die Wurzel im zweiten Bruch sollte nach dem $\begin{eqnarray*} \frac 1n \end{eqnarray*}$ aufhören und das war ein kleiner Schreibfehler? Augenzwinkern

Der Rest stimmt soweit. Freude

29.12.2013, 12:00

MatheErsti123

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Ja, stimmt, das war nur ein Versehen. Okay, wunderbar, ich danke dir vielmals für deine schnelle Hilfe und das zu solchen Zeiten Big Laugh

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