Hauptkrümmungsrichtung Geometrie

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Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptkrümmungsrichtung Geometrie
Hallo alle zusammen Wink
ich bereite mich im Moment für das Examen vor und möchte gerne die Hauptkrümmungsrichtung berechnen:

Meine Weingartenabbildung sieht so aus:


Damit ergeben sich die Hauptkrümmungen




Hauptkrümmungsrichtungen:


Den Faktor vor der Matrix, kann ich glaube ich weg lassen (warum, weiss ich nicht so genau verwirrt )

Wenn ich nun die erste Zeile mit multipliziere, kann ich sie auf die zweite Zeile Addieren und erhalte:


Was mache ich nun?
in der ersten Zeile steht nun:



Analog folgt für
(den Vorfaktor habe ich hier bereits auch weggelassen)

Wie mache ich weiter? Wohin Löse ich auf? Ich hoffe mir kann jemand helfen smile
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptkrümmungsrichtung Geometrie
Zitat:
Original von Matheversteher
Den Faktor vor der Matrix, kann ich glaube ich weg lassen (warum, weiss ich nicht so genau verwirrt )

Die Hauptkrümmungsrichtungen sind ja durch die Eigenvektoren der Weingarten-Abbildung gegeben. Und für die sind einem (von Null verschiedene) Vorfaktoren egal.

Mit dem Stichwort "Eigenvektoren suchen" kannst du vielleicht auch schon die erste Hauptkrümmungsrichtung angeben und dich auf der Suche nach der zweiten machen.
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Che,

also so richtig kann ich dir jetzt nicht folgen.

den wenn ich den Fall für nach auflösen, so erhalte ich für den Wert "0". Das Gleiche gilt für , hier erhalte ich dann . Ist dann mein Eigenvektor ?

Aber das ist doch nicht die Hauptkrümmungsrichtung?! verwirrt
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Matheversteher
Das Gleiche gilt für , hier erhalte ich dann .

Das solltest du dir nochmal genauer überlegen.

Zitat:
Ist dann mein Eigenvektor ?

Der Nullvektor ist niemals ein Eigenvektor.
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Mhhhh...
aber ich gehe schon von dieser Matrix aus weiter oder?

Ich versuche es nochmal. In der ersten Spalte stehen die und in der zweiten Spalte die das ist doch soweit richtig oder?

Also folgt aus Zeile 1:
(das hatte ich soweit schon)

und für

der Eigenvektor ist somit für :

Für folgt:





und somit

der Eigenvektor für ist:

Richtig?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Matheversteher
aber ich gehe schon von dieser Matrix aus weiter oder?

Ja, deren Kern brauchst du ja.

Zitat:
Ich versuche es nochmal. In der ersten Spalte stehen die und in der zweiten Spalte die das ist doch soweit richtig oder?

Jein.
Du willst

lösen.
In der Matrix selbst stehen aber keine Variablen.

Zitat:
und für

Was soll der Pfeil bedeuten bzw. was ist ?

Zitat:
der Eigenvektor ist somit für :

Ja, ist ein Eigenvektor.

Zitat:
Für folgt:





und somit

Wo folgt da was? Ich sehe nur ein paar Gleichungen und einen Pfeil, dessen Bedeutung hier nicht klar ist.

Zitat:
der Eigenvektor für ist:

Aber ja, ist ein Eigenvektor.
 
 
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid für die lange Pause, also ich versuceh es mal zu erklären.

Ähm ich habe die Gleichung

Zitat:
Zitat von Che Netzer


Für mich folgt daraus (Hier der Fall für):


Aus Zeile 1


ich habe nun die in Abhängigkeit von . Um das ganze übersichtlicher zu machen, habe ich gesetzt und somit habe ich für und in Abhängigkeit der gleichen Variablen. Für den Eigenvektor (Hauptkrümmungsrichtung ) folgt daher sowie alle Vielfachen davon, das heißt: .

Für verläuft das Analog:



Aus Zeile 1:


So nun möchte ich auch hier wieder alles in Abhängigkeit einer Variablen setzen: Also Wähle ich somit folgt . Für den Eigenvektor (Hauptkrümmungsrichtung ) folgt daher sowie alle Vielfachen davon, das heißt: .

Ist das so besser? verwirrt
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Matheversteher
ich habe nun die in Abhängigkeit von .

Hast du nicht.
Überleg dir nochmal, was aus folgt.

Mir fällt auch gerade auf, dass ich den Eigenvektor etwas voreilig abgenickt habe; der ist nämlich gar keiner. Gilt denn
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm...

Zitat:
Zitat
Mir fällt auch gerade auf, dass ich den Eigenvektor etwas voreilig abgenickt habe; der ist nämlich gar keiner. Gilt denn


das gibts ja nicht.

Als Ergebnis Erhalte ich was natürlich nicht richtig ist.

Auch ist meine Rechnung:
Zitat:

völliger Käse. Denn für hätte ich ja schon einen Widerspruch.

Was tue ich denn dann?

Wenn ich das ganze jetzt anders herum angehe, Sprich das ganze in Abhängigkeit von habe, dann hätte ich als Krümmungsrichtung von alle Vielfachen von .
Denn:


Das müsste jetzt stimmen oder?

Da habe ich dann folgende Frage (sofern das vorherige Richtig ist), für ist die Hauptkrümmungsrichtung in Abhängigkeit von und bei ist es dann in Abhängigkeit von ?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Matheversteher
Was tue ich denn dann?

Naja, aus folgt offenbar . Dahingegen ist beliebig.

Zitat:
Das müsste jetzt stimmen oder?

Ja.

Zitat:
Da habe ich dann folgende Frage (sofern das vorherige Richtig ist), für ist die Hauptkrümmungsrichtung in Abhängigkeit von und bei ist es dann in Abhängigkeit von ?

Nein.
Die Eigenvektoren zum Eigenwert sind Vielfache von und geben alle dieselbe Richtung an (mal abgesehen von der Orientierung).
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Zitat:
Da habe ich dann folgende Frage (sofern das vorherige Richtig ist), für ist die Hauptkrümmungsrichtung in Abhängigkeit von und bei ist es dann in Abhängigkeit von ? Nein. Die Eigenvektoren zum Eigenwert sind Vielfache von und geben alle dieselbe Richtung an (mal abgesehen von der Orientierung).


Ich glaube ich habe mich falsch ausgedrückt.
Meine Frage war, woran sehe ich den, was mein "Beliebiges" ist? Für ist der Eigenvektor in Abhängigkeit von (sprich ist beliebig). Woran sehe ich, bevor ich den Eigenvektor ausgerechnet habe, was ( oder in diesem Fall) beliebig ist?

Hätte ich bei dem Eigenvektor für auch beliebig lassen können? Ist es jetzt klarer worauf ich hinaus möchte?

Und: Eigenvektor= Hauptkrümmungsrichtung?!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Solange die Eigenräume nicht die Koordinatenachsen sind (wie es hier der Fall war), kannst du eigentlich beide Komponenten als frei wählbar betrachten.
Wenn du irgendeine Gerade durch den Nullpunkt in der Ebene malst (die nicht eine der Achsen ist), kannst du entweder "einen -" oder "einen -Wert" vorgeben und erhältst dazu einen eindeutigen Punkt auf der Geraden.

Sieh es aber besser so, dass der Eigenvektor einfach irgendeinen freien Parameter enthält, der nicht zwingend eine der Komponenten des Vektors ist.

Zitat:
Und: Eigenvektor= Hauptkrümmungsrichtung?!

Jein. Ein Eigenvektor des Weingarten-Operators gibt ja eine Richtung an (ist das klar?) und diese Richtung ist dann eine Hauptkrümmungsrichtung.
Umgekehrt ist jeder Vektor, dessen zugehörige Richtung eine Hauptkrümmungsrichtung ist, ein Eigenvektor.
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Zitat
Zitat:
Zitat:
Und: Eigenvektor= Hauptkrümmungsrichtung?!

Jein. Ein Eigenvektor des Weingarten-Operators gibt ja eine Richtung an (ist das klar?) und diese Richtung ist dann eine Hauptkrümmungsrichtung. Umgekehrt ist jeder Vektor, dessen zugehörige Richtung eine Hauptkrümmungsrichtung ist, ein Eigenvektor.


Ok das ist mir dann soweit klar. Freude

Zitat:
Zitat
Solange die Eigenräume nicht die Koordinatenachsen sind (wie es hier der Fall war), kannst du eigentlich beide Komponenten als frei wählbar betrachten. Wenn du irgendeine Gerade durch den Nullpunkt in der Ebene malst (die nicht eine der Achsen ist), kannst du entweder "einen -" oder "einen -Wert" vorgeben und erhältst dazu einen eindeutigen Punkt auf der Geraden. Sieh es aber besser so, dass der Eigenvektor einfach irgendeinen freien Parameter enthält, der nicht zwingend eine der Komponenten des Vektors ist.


Ok, das war also der Grund, weshalb ich hier genau gucken musste, welches "x" nun das beliebige ist.

Vielen Dank für deine Hilfe, hast mir wirklich sehr geholfen Freude
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