Wurzelrechnung

29.12.2013, 17:37

Ichdrehdurch

Wurzelrechnung

Meine Frage:
Hi,

folgende Aufgabe gilt es zu lösen:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{63^{2}+17^{2}-2*63*17} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mein Problem ist, dass man den Term sowohl als (63-17)² als auch als (17-63)² zusammenfassen kann. Je nach dem, was ich mache, bekomme ich das Ergebnis +46 als auch das Ergebnis -46. In meinem Lösungsbuch steht aber bloß das positive Ergebnis. Wie kann das sein??

Gebe ich die Aufgabe in den Taschenrechner ein, kommt im Inneren Term 2116 heraus. Da aber vor jeder Wurzel ein +- steht, lässt sich das wieder als +-46 berechnen.

Nun habe ich mich so in das Problem hineingesteigert, dass ich glaube, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{46^2} \neq (\sqrt{46})^2 \end{eqnarray*}$

Weil ja beim ersten zwei Ergebnisse möglich sind, beim zweiten nur eins. Bitte helft mir aus dieser Krise raus !! :o

LG

EDIT: Natürlich weiß, ich, dass der letzte von mir aufgeschriebene Term nicht stimmt, da man (46)^2:2 schreiben kann. Doch dann wieder die frage: Woher weiß ich, was ich von wem abziehen muss (siehe ganz oben). Ich hoffe ihr erkennt das Problem!

29.12.2013, 17:46

Bürgi

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RE: Wurzelrechnung
Moin,

Du hast ein Quadrat als Radikand. Laut Definition gilt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} = |x| \end{eqnarray*}$

Auf Deine Aufgabe angewendet musst Du überprüfen, ob es einen Unterschied zwischen
$\begin{eqnarray*} |63-17|~\text{oder}~|17-63| \end{eqnarray*}$ gibt.

29.12.2013, 18:20

Ichdrehdurch

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RE: Wurzelrechnung
Hi,

Vielen lieben Dank für die Hilfe. Es war also Definitionssache - herzlichen Dank smile

LG

Edit: jetzt erklärt sich auch, warum das da oben keine Ungleichng ist - laut Definition ist nur das positive Ergebnis gültig smile

29.12.2013, 18:54

Ichdrehdurch

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RE: Wurzelrechnung
Hi,

Ergänzung zur Frage: Heißt es eigentlich, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{9} = \sqrt{3^2} = | \pm 3 | = 3 \neq -3 \end{eqnarray*}$

??? Das ist ja auch wieder verwirrend :o

zumal man das ja mit jeder Zahl machen kann, sodass allgemein gilt:

$\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{x} = + y \end{eqnarray*}$

für

$\begin{eqnarray*} y = \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

30.12.2013, 11:50

Bürgi

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RE: Wurzelrechnung
Hej,

1. Laut Wikipedia gilt:

Zitat:

Die Quadratwurzel (umgangssprachlich Wurzel) einer nichtnegativen Zahl y ist jene (eindeutig bestimmte) nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl y ist.

Die Betonung des Nichtnegativen stellt sicher, dass null als Quadratzahl ebenfalls unter diese Definition fällt.

2. Bei dieser Gleichung
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} = |x| \end{eqnarray*}$
muss selbstverständlich eine Umformung folgen, die den Term auf der rechten Seite betragsfrei macht:

$\begin{eqnarray*} |x| = \left \lbrace \begin{array}{rcl}x ,&\text{falls}~& x \ge 0 \\-x ,&\text{falls}~& x < 0 \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

Du siehst, dass an dieser Stelle das geliebte $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ ins Spiel kommt, was aber für mein Empfinden immer sehr großzügig unsauber gebraucht wird. (Keine Zahl ist gleichzeitig positiv und negativ).

30.12.2013, 13:27

Ichdrehdurch

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Zitat:

Original von Bürgi

2. Bei dieser Gleichung
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} = |x| \end{eqnarray*}$
muss selbstverständlich eine Umformung folgen, die den Term auf der rechten Seite betragsfrei macht:

$\begin{eqnarray*} |x| = \left \lbrace \begin{array}{rcl}x ,&\text{falls}~& x \ge 0 \\-x ,&\text{falls}~& x < 0 \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

Du siehst, dass an dieser Stelle das geliebte $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ ins Spiel kommt, was aber für mein Empfinden immer sehr großzügig unsauber gebraucht wird. (Keine Zahl ist gleichzeitig positiv und negativ).

Hi,

Bei der Lösung handelt es sich also um eine Menge, die im Bereich der reellen Zahlen entweder eine oder zwei Zahlen haben kann.
Doch wie sieht es bei einfachen Zahlen aus war eigentlich meine Frage. Wie entscheide ich da, ob x größer/gleich 0 oder kleiner als 0 ist? ( siehe meine Frage am Anfang) Dort gab es ja auch nur eine legitime Lösung, obwohl es einfach eine Aufgabe war, die man ohne TR lösen sollte.

Ich hoffe ihr versteht meine Frage. Wenn nicht bitte melden. Ich mache es nâmlich gerne mal kompliziert smile

Letztendlich geht es um die Frage: ist die Wurzel aus z.b 9 gleich 3 oder -3? Wie Beweise ich es, wenn mir keine Gleichung, sondern nur diese Aufgabe gegeben ist?

LG

30.12.2013, 17:06

Bürgi

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Hej,

Zitat:

Doch wie sieht es bei einfachen Zahlen aus war eigentlich meine Frage.

1. Bei Zahlen greift die Definition, die ich Dir als Zitat gepostet habe:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{9} = 3 \end{eqnarray*}$

und nichts anderes. Es kommt hier im Übrigen kein x vor. Augenzwinkern

2. Etwas anders sieht es aus, wenn Du eine Gleichung löst:

$\begin{eqnarray*} x^2 = 9~\implies~|x| = 3 \end{eqnarray*}$

Und diese letzte Gleichung entsprechend der Definition von Betrag nach x auflösen:

$\begin{eqnarray*} |x| = 3~\implies~\left \lbrace \begin{array}{rcl}x\ge 0:\ & x = 3 \\ x< 0:\ & -x = 3 \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

Du siehst, dass jetzt tatsächlich 2 Lösungen vorhanden sind.

30.12.2013, 20:43

Ichdrehdurch

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Hi,

Vielen Dank für deine Antwort.

Nur ums noch einmal kurz zusammenzufassen:

Rechne ich Übungsaufgaben nur mit Zahlen (kein Gleichungssystem), dann nehme ich das positive Ergebnis beim Radizieren.

Habe ich eine Gleichung, bei der x berechnet werden soll, dann steht vor der Wurzel immer ein +- und ich muss schauen (z.b durch Rückeinsetzung in die Ausgangsgleichung etc.) , für welche x die Gleichung auch wirklich eine Gleichung ist. War das so korrekt?

LG

Edit: kurze ergänzung: gibt es nun eigentlich einen Unterschied zwischen den beiden Fällen, dass es einmal Wurzel aus x^2 und einmal (Wurzelx)^2 heißt. Wenn ich's richtig verstanden habe, ist es bei Zahlen egal, bei Gleichungen muss man, wenn die Wurzel außen steht, beides beachten. Korrekt?

02.01.2014, 22:11

mYthos

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Den Unterschied gibt es:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} = |x| \ \text{vs} \ (\sqrt x)^2 = x \end{eqnarray*}$

Da die rechte Beziehung nach Definition der Quadratwurzel nur für nicht negative reelle x gilt, entfällt hier das Betragszeichen.

mY+

03.01.2014, 02:02

Ichdrehdurch

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Juhuuu, ich hab's also verstanden! Nochmals vielen Dank für alle Antworten und Hilfen smile

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Wurzelrechnung

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