Rang nur mit Parametern bestimmen?

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29.12.2013, 18:24	Crixi	Auf diesen Beitrag antworten »
Rang nur mit Parametern bestimmen? Meine Frage: Hallo Ich habe ein Problem bei einer Aufgabe. Ich habe die Matrix A= (a b b a) gegeben. Nun soll ich sagen, wie die Parameter a und b gewählt werden müssen, damit die Matrix den Rang 0,1 und 2 hat. Meine Ideen: Wenn die Matrix den Rang 0 haben soll, muss man ja a und b = 0 wählen. Wenn man den Rang 2 haben will, dürfen a und b nicht Null sein. Leider habe ich aber keine Idee, wie ich die Matrix so gestallte, dass sie den ersten Rang hat. Dazu muss ich ja erstmal wieder eine Zeielstufenform bilden. Wenn ich die erste Null gebildet habe, sieht das ganze so aus: A=(a b 0 (-b²/a)+a) (Weil ich es mit -(b/a)multipliziert und dann addiert habe. Eine andere Möglichkeit, habe ich leider nich gefunden. Nun bekomme ich aber die anderen beiden Parameter wieder nicht Null. Also habe ich mir überlegt, dass man vielleicht einfach schreiben kann ( 0 b 0 0). Dann dürfte einfach b nicht Null sein. Aber das erscheint mir etwas zu einfach. Oder muss man dierekt bei der Ausgangsmatrix A den Rang bestimmen? Wenn mir jemand helfen könnte, wäre ich wirklich sehr glücklich! Liebe Grüße
29.12.2013, 20:11	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Fall A= Nullmatrix sei erledigt. ich würde das mit DET(A) lösen: $\begin{eqnarray} \rm DET(A)=0 \Rightarrow RANK(A)=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rm DET(A)\neq 0 \Rightarrow RANK(A)=2 \end{eqnarray}$ der wesentliche Ausdruck ist $\begin{eqnarray} a^2-b^2 \end{eqnarray}$ , der etwas "verschlüsselt" auch bei dir auftaucht.
07.01.2014, 18:12	Crixi	Auf diesen Beitrag antworten »
:/ Danke erstmal für die Antwort. Aber leider versteh ich nicht ganz, wie du das meinst Wie genau soll ich das mit der Determinanten lösen? Ist das ein Satz? Für mich wäre es eigentlich schon hilfreich zu wissen, ob ich die Form so lassen kann, ich eine Null oder 3 Nullen bilden muss Liebe Grüße!
07.01.2014, 18:31	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
deine 2. Zeile lautet: 2.) $\begin{eqnarray} 0x + (a-\frac {b^2}{ a})y=0 \end{eqnarray}$ wenn wir mal ein LGS in x,y unterstellen. mit a multipliziert: 2.) $\begin{eqnarray} 0x + (a^2- b^2 )y=0 \end{eqnarray}$ und du erhälst eine Nullzeile , wenn $\begin{eqnarray} a^2-b^2=0 \end{eqnarray}$ ist.
07.01.2014, 21:22	Crixi	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Das habe ich jetzt verstanden!!! Nur haben wir in der Vorlesung gelernt, dass man die Matrix nicht einfach mit einem Skalar multiplizieren darf, sondern nur die Zeilen untereinander Wieso darf ich das in diesem Fall denn tun?:/
07.01.2014, 21:58	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
um den Gauß Algorithmus anwenden zu können ist ja das Multiplizieren von Zeilen und Addieren derselben notwendig. Das muss man aber strikt trennen vom Multiplizieren einer Matrix mit einer Zahl. Dahinter steckt folgendes: Der Rang einer Matrix ist die maximale Anzahl von Linear unabhängigen Zeilenvektoren. Um dieses zu überprüfen ist ein homogenes LGS notwendig , um Gauß anwenden zu können. Und das habe ich mit Zeile 2 gemacht.
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08.01.2014, 18:40	Crixi	Auf diesen Beitrag antworten »
Also dient das multiplizieren mit a am Ende einfach nur der Verschönerung bzw. Vereinfachung?
08.01.2014, 18:45	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
genau so ist es Außerdem sind die Nullstellen von $\begin{eqnarray} a^2-b^2 = (a+b)(a-b) \end{eqnarray}$ sehr leicht zu finden.
08.01.2014, 18:47	Crixi	Auf diesen Beitrag antworten »
Herzlichsten Dank für die super Hilfe!!! Das ist wirklich ein tolles Forum hier
08.01.2014, 18:52	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
das hört man gerne 'kannst uns ja weiterempfehlen !

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