Unterschied zwischen Skalarprodukt und Zeilen-Spalten-Produkt

30.12.2013, 10:33

HobbyPhysicist

Unterschied zwischen Skalarprodukt und Zeilen-Spalten-Produkt

Guten Morgen,

ich komme mir zwar blöd vor diese Frage zu stellen, da sie eigentlich zu den Grundlagen gehört, aber muss sie jetzt trotzdem mal los werden. Was ist der Unterschied zwischen dem Skalarprodukt und dem Produkt zwischen einem Zeilenvektor (/einer einzeilige Matrix) und einem Spaltenvektor (/einer einspaltigen Matrix)?
Laut den Regeln der Matrizenmultiplikation kann ich doch zwei Matrizen nur multiplizieren, wenn die zweite Matrix die gleiche Anzahl an Zeilen hat, wie die erste Spalten.

Nun zu meinen Fragen:
Das bedeutet doch im Prinzip, dass das Skalarprodukt mit zwei Zeilenvektoren (wie man es in der Schule lernt) eigentlich nicht erlaubt ist?
Das Skalarprodukt müsste in Matrizenschreibweise doch als das Produkt einer Zeilen- mit einer Spaltenmatrix definiert sein, wodurch die Unterscheidung wieder hinfällig wäre?
Normalerweise gilt doch
$\begin{eqnarray*} \vec a \cdot \vec b \end{eqnarray*}$ -> Skalarprodukt -> Zeilenvektor mal Spaltenvektor (Ergebnis: Skalar)
$\begin{eqnarray*} \vec a \otimes \vec b \end{eqnarray*}$ -> Spaltenvektor mal Zeilenvektor (Ergebnis: Dyade)
?

Habe die Unterscheidung in einer Vorlesung aufgegriffen: Jörn Loviscach - Kovarianz, Kontravarianz, Tensoren

30.12.2013, 11:47

HobbyPhysicist

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Zum gleichen Video hätte ich noch eine weitere Frage, auch wenn sie nicht zum Titel passt.
Der duale Vektorraum ist doch nicht nur dafür da, Vektoren auf die reelen Zahlen abzubilden, sondern ist selbst ein vollwertiger Vektorraum für den eben die Bedingung $\begin{eqnarray*} e^*_i \cdot e_j = \delta_{ij} \end{eqnarray*}$ gilt? Somit stehen die Vektoren des dualen Vektorraums doch senkrecht auf allen anderen Vektoren des "normalen" Vektorraums?

30.12.2013, 17:13

weisbrot

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RE: Unterschied zwischen Skalarprodukt und Zeilen-Spalten-Produkt
ein skalarprodukt ist eine funktion, die aus zwei vektoren (aus dem gleichen vektorraum) ein skalar macht - du kannst also z.b. das skalarprodukt von zwei spaltenvektoren (wenn du sie so nennen willst) nehmen.
mehr oder weniger zufällig kommt es halt dazu, dass das standardskalarprodukt (was du aus der schule kennst) von v und w (im IR^n z.b.) eben genau der eintrag der 1x1-matrix ist, die rauskommt, wenn man v^T (den transponierten, also liegenden (zeilen-)) vektor v) und w als matrizen multipliziert.
also: $\begin{eqnarray*} \langle v, w\rangle_\text{standard} = v^T\cdot w \end{eqnarray*}$
oder vielleicht $\begin{eqnarray*} \left[\langle v, w\rangle_\text{standard}\right] = v^T\cdot w \end{eqnarray*}$ weil das rechte ja eigentlich ne matrix ist.
also ein skalarprodukt ist erstmal was anderes als das multiplizieren von vektoren.
allerdings lässt sich zeigen, dass sich in endlichdimensionalen vektorräumen jedes skalarprodukt als matrix, und die die anwendung auf zwei vektoren als matrixmultiplikation auffassen lässt - also sind die sachen doch irgendwie das gleiche, aber rein von der definition her erstmal nicht.
hoffe das beantwortet deine frage etwa!?
lg

30.12.2013, 22:04

HobbyPhysicist

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Das Skalarprodukt ist, wenn ich es richtig verstanden hab erstmal definiert als $\begin{eqnarray*} a \cdot b \cdot cos \angle (\vec a, \vec b) \end{eqnarray*}$ und kommt aus der Physik. Zufälligerweise ist es in einem kartesischen Koordinatensystem mit Orthonormalbasis das gleiche wie $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i = 1}^n {a_i \cdot b_i}=\vec a^T \cdot \vec b \end{eqnarray*}$ .
Also ist das Standardskalarprodukt eine Verallgemeinerung des Skalarprodukts auf beliebige endliche Räume.

Ist das soweit richtig?
Falls ja, ist es eine willkürliche Definition, um einen Vektor auf R abzubilden, weil es im kartesischen Koordinatensystem so gut funktioniert hat?

31.12.2013, 17:40

weisbrot

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Zitat:

Das Skalarprodukt ist, wenn ich es richtig verstanden hab erstmal definiert als $\begin{eqnarray*} a \cdot b \cdot cos \angle (\vec a, \vec b) \end{eqnarray*}$ und kommt aus der Physik.

ne, eher andersrum - der winkel ist über das skalarprodukt definiert; und das kommt wie alles natürlich aus der mathematik Augenzwinkern

Zitat:

Also ist das Standardskalarprodukt eine Verallgemeinerung des Skalarprodukts auf beliebige endliche Räume.

naja, nein, es ist ein spezialfall eines skalarproduktes - es gibt auch andere, und ein spezielles, das was man aus der schule kennt, ist das standardskalarprodukt.

Zitat:

ist es eine willkürliche Definition, um einen Vektor auf R abzubilden, weil es im kartesischen Koordinatensystem so gut funktioniert hat?

was meinst du? allgemeine skalarprodukte? die definition für allgemeine skalarprodukte ist einfach eine verallgemeinerung des (zuerst dagewesenen) standardskalarprodukts aus IR^n auf beliebige vektorräume.

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