Lineares Gleichungssystem

30.12.2013, 13:01

beko2

Lineares Gleichungssystem

Meine Frage:
Hallo matheboard,

meine 1. Frage:
warum heißt es immer lineares Gleichungssystem? Gibt es auch ein "normales" Gleichungssystem?

meine 2. Frage:
Wie kann man sich ein lineares Gleichungssystem (3 Unbekannte 3 Gleichungen) mit a) unendlich vielen Lösungen b) keinen Lösungen c) einer Lösung ausdenken?

Meine Ideen:
Zur 1. Frage:
Keine Idee

Zur 2. Frage:
Man könnte sich die drei Gleichung als Ebene vorstellen? Sei ax+bx+2cx = 10 die erste Gleichung, dann ist der Normalenvektor ja a b 2c. Dann könnte ich mir ja ausdenken:

1. ax+bx+2cx = 10
2. ax+bx+2cx = 11
3. ax+bx+2cx = 12

Dann hätte ich ein LGS mit keiner Lösung, da die Ebenen parallel zu einander sind, da der Normalenvektor ja bei allen gleich ist. Wenn ich nun unendlich viele Lösungen haben möchte könnte ich ja drei mal die selebn Gleichungen aufstellen oder zumindest linearabhängige Gleichungen:
1. ax+bx+2cx = 10
2. 2ax+2bx+4cx = 22
3. 2ax+2bx+4cx = 24

Das wäre aber glaube ich kein LGS, da wären wir wieder bei meiner 1. Frage...

Hoffe ihr könnt mir helfen, ich bedanke mich jetzt schon mal bei euch.

Liebe Grüße
beko2

30.12.2013, 13:19

Bjoern1982

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Zitat:

warum heißt es immer lineares Gleichungssystem? Gibt es auch ein "normales" Gleichungssystem?

Sobald mehr als eine Gleichung im Spiel ist, spricht man von einem System von Gleichungen, also einem Gleichungssystem.
Eine lineares Gleichungssystem (LGS) ist eine spezielle Art von Gleichungssystem, stellt also bestimmte Bedingungen an die jeweiligen Gleichungen, damit sie sich auch "linear" schimpfen dürfen.
Was man unter einem LGS versteht, dazu findest du etliche Ergebnisse via Google - deswegen glaube ich dir nicht, dass du dazu keine Ideen hast. Augenzwinkern

Zu 2)

Der Gedanke mit den Ebenen ist gar nicht mal schlecht.
Schau dir jedoch bitte nochmal genau an, wie man eine so genannte Koordinatenform einer Ebene aufstellt. Das hast du nämlich ziemlich falsch gemacht, es gibt bei dir 4 Unbekannte.

30.12.2013, 13:48

beko2

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Hallo,

ich merke gerade, dass ich die Gleichungen falsch aufgestellt habe. Es soll heißen:

1. a+b+2c = 10
2. a+b+2c = 11
3. a+b+2c = 12

So ergibt sich keine Lösung.

1. a+b+2c = 10
2. 2a+2b+4c = 22
3. 2a+2b+4c = 24

Hier ergeben sich unendlich viele Lösungen.

Wie man eine Koordinatenform aufstellt:
Man nimmt die Formel: (x-p)*n = 0
p ist der Stützvektor, n der Normalenvektor also das Kreuzprodukt aus den beiden Spannvektoren. Dann steht am Ende folgendes:
n1*x + n2*y * n3*z = n*p

Zu meiner 1. Frage:
Wikipedia sagt:
" Eine lineare Gleichung ist eine mathematische Bestimmungsgleichung, in der ausschließlich Linearkombinationen der Unbekannten vorkommen. "
Das wäre dann beispielsweise 2 = 3x + 2y aber nicht 2 = 3xy + 1, hoffe ich habe es nun richtig verstanden.
Dann wäre ja auch das hier ein lineares Gleichungssystem, oder? :

1. a+b+2c = 10
2. 2a+2b+4c = 22
3. 2a+2b+4c = 24

30.12.2013, 14:16

Bjoern1982

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Zitat:

1. a+b+2c = 10
2. 2a+2b+4c = 22
3. 2a+2b+4c = 24

Hier ergeben sich unendlich viele Lösungen.

Warum denkst du das ?

Zitat:

Dann steht am Ende folgendes: n1*x + n2*y * n3*z = n*p

Oder halt ax+by+cz=d, und warum sprichst du bei deinen Gleichungen oben von Ebenen und benutzt dann die übliche Koordinatenform nicht ?
Du kannst das natürlich auch mit a,b und c machen, aber warum dann erst das Erwähnen der Ebenen ?

Zitat:

Das wäre dann beispielsweise 2 = 3x + 2y aber nicht 2 = 3xy + 1, hoffe ich habe es nun richtig verstanden.

Zum Beispiel, ja. Oder auch wenn irgendwie Quadrate vorkommen, dann wäre es z.B. auch nicht mehr linear.
Entscheidend ist halt das hier:

Zitat:

Allgemein lässt sich ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten immer in die folgende Form bringen:

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 \, + & \cdots & +\, a_{1n} x_n & = & b_1\\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 \, + & \cdots & +\, a_{2n} x_n & = & b_2\\ &&&\vdots&\\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 \, + & \cdots & +\, a_{mn} x_n & = & b_m\\ \end{matrix} \end{eqnarray*}$

30.12.2013, 14:55

beko2

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Bin total durcheinander. Ich versuch es nochmal neu:

Eine Lösung
I. a+b+c = 3
II. a+b = 2
III. a+c = 2

Begründung: Ich habe mir einfach vorher ausgedacht, dass a=b=c=1 ist und dann dementsprechend die zwei anderen Gleichungen II. und III. formuliert.

Keine Lösung
I. 2a+2b+2c = d
II. 2a+2b+2c = e
II. 2a+2b+2c = f

Begründung: Wir betrachten alle drei Gleichungen als Ebene. Sie haben alle den selben Normalenvektor, sprich sie sind entweder parallel oder identisch, das hängt nun vom d, e, f ab. Wenn diese ungleich sind, dann sind die Ebenen parallel, sprich sie schneiden sich nirgendwo.

Unendlich viele Lösungen
I. a+b+c = 2
II. 2a+2b+2c = 4
II. 4a+4b+4c = 8

Begründung: Es sind drei mal die selben Ebenen, da die II. Gleichung die I. multipliziert mit 2 ist und die III. die II. Gleichung multipliziert mit 2.

Hoffe es stimmt nun so.

30.12.2013, 15:04

Bjoern1982

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Das hört sich doch ganz gut an. Freude

Ich verstehe zwar nach wie vor nicht, warum du in deinen Erläuterungen von Ebenen sprichst (z.B. E: 3x-4y+8z=6) und trotzdem als Gleichungen sowas wie a+b+c=3 ohne Ebenenbezug nimmst.
Aber nun gut das bleibt dir ja überlassen.

30.12.2013, 15:26

beko2

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Danke

Naja a+b+c = 3 kann man ja auch als Ebene sehen. Dabei ist der Normalenvektor halt 1 1 1 und das d = 3. Man kann es auch mit x,y, und z schreiben, dann hat man halt:

E: x+y+z = 3

Noch eine kleine Frage:
Betrachten wir mal den Fall "keine Lösung", dann habe ich z.B. folgendes LGS:

I. x+y = 3
II. x = 2
III. y = 4

Wenn ich diese 3. Gleichungen nun wieder als Ebene betrachte, dann hat ja die 1. Gleichung den Normalenvektor: 1 1 0 und die 2. Gleichung den Normalenvektor 1 0 0 und die III. Gleichung den Normalenvektor 0 1 0. Sprich die Gleichungen haben alle einen unterschiedlichen Normalenvektor, was ja heißen müsste dass es Lösungen geben muss. Denn wenn Ebenen nicht parallel sind müssen sie sich ja schneiden...
Wo ist hier der Denkfehler?

30.12.2013, 15:36

Bjoern1982

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Zitat:

Naja a+b+c = 3 kann man ja auch als Ebene sehen. Dabei ist der Normalenvektor halt 1 1 1 und das d = 3. Man kann es auch mit x,y, und z schreiben, dann hat man halt: E: x+y+z = 3

Nur bist du dann wohl der einzige Mensch auf diesem Erdenrund, der seine Koordinatenachsen mit a,b und c bezeichnet. Augenzwinkern

Zitat:

Wo ist hier der Denkfehler?

Ganz einfach, deine Argumentation gilt nur für die Lagebeziehung von genau 2 Ebenen.
3 Ebenen können sich ja durchaus schneiden, jedoch nicht zwingend in ein und demselben Punkt oder in ein und der derselben Geraden und darum geht es ja in einem Gleichungssystem aus 3 Gleichungen, um die Anzahl der gemeinsamen Punkte.

30.12.2013, 15:39

beko2

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Zitat:

Nur bist du dann wohl der einzige Mensch auf diesem Erdenrund, der seine Koordinatenachsen mit a,b und c bezeichnet.