Schnittpunkte von Ellipsennormalen mit der x-Achse

30.12.2013, 13:22	Marker	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittpunkte von Ellipsennormalen mit der x-Achse Meine Frage: Hallo, ich habe ein großes Problem folgenden Sachverhalt zu verstehen, den ich für einen Vortrag brauche. Ich habe jetzt schon ewig rumgegrübelt, aber ich verstehe es leider einfach nicht: Gesucht ist die Menge der Punkte, in denen die Normale an eine Ellipse die x-Achse schneidet. Es sei (x0,y0) ein Punkt auf der Ellipse und man betrachte die Normale an diesem Punkt. Hierzu betrachten wir die Ellipse als Niveaumenge F(x,y)=1 der Funktion: $\begin{eqnarray} F(x,y)=\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} , a>b \end{eqnarray}$ Der Gradientenvektor $\begin{eqnarray} \nabla F(x_0,y_0)=(\frac{2x_0}{a^2} ,\frac{2y_0}{b^2} ) \end{eqnarray}$ ist im Punkt (x0,y0) normal zur Ellipse. Die Normale im Punkt (x0,y0) an die Ellipse ist deswegen die Gerade durch den Punkt (x0,y0) in Richtung $\begin{eqnarray} \nabla F(x_0,y_0)=(\frac{2x_0}{a^2} ,\frac{2y_0}{b^2} ) \end{eqnarray}$ . Zum Auffinden der Geradengleichung berücksichtigen wir, dass der Vektor (x-x0,y-y0) parallel zum Vektor $\begin{eqnarray} (\frac{2x_0}{a^2} ,\frac{2y_0}{b^2} ) \end{eqnarray}$ verläuft und erhalten $\begin{eqnarray} \frac{2y_0}{b^2} (x-x_0)-\frac{2x_0}{a^2} (y-y_0)=0 \end{eqnarray}$ Zum Auffinden des Schnittpunktes mit der x-Achse setzen wir y=0. Meine Ideen: Bei mir hängts an folgenden Stellen: 1.)Warum ist (x-x0,y-y0) parallel zu $\begin{eqnarray} (\frac{2x_0}{a^2} ,\frac{2y_0}{b^2} ) \end{eqnarray}$ ? 2.) Was bedeutet $\begin{eqnarray} \frac{2y_0}{b^2} (x-x_0)-\frac{2x_0}{a^2} (y-y_0)=0 \end{eqnarray}$ bzw. wie kommt man genau da drauf? Falls das die Geradengleichung sein soll, weiß ich nicht, warum man sie so schreiben muss, die Geradengleichung der Normalen hat man doch schon. Warum setzt man die nicht einfach gleich 0? Kann mir bitte jemand meine Fragen beantworten? Ich komme allein echt nicht mehr weiter...
30.12.2013, 17:27	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
1.) im Vektor $\begin{eqnarray} \vec k =(x-x_0,y-y_0)^T \end{eqnarray}$ sind y und x die Variablen der Normalen. Du bewegst dich also vom Ellipsenpunkt längs der Normalen. Demnach ist dieser Weg senkrecht zur Ellipse => lin. abhängig zum Gradienten. 2.) Der senkrechte Vektor $\begin{eqnarray} (-(y-y_0),(x-x_0))^T \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} \vec k \end{eqnarray}$ , ergibt mit dem Gradienten skalar multipliziert Null. Das ist eigentlich alles.
02.01.2014, 01:13	Marker	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank. Ich glaube, ich habs verstanden.

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