Satz von Baire Differenzierbarkeit

30.12.2013, 18:28	Axxus	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Baire Differenzierbarkeit Meine Frage: Hallo @ all, Ich sitze gerade an dem Existenzbeweis für Funktionen aus C[0,1], die nirgends differenzierbar sind. Den Beweis findet man zum Beispiel in "Werner Funktionalanalysis 4. Überarbeitete Auflage Seite 139ff" Hierbei wird die Menge definiert: $\begin{eqnarray} O_{n}=\{f\in C[0,1]:\sup_{0<\|h\|<\frac{1}{n}}\|\frac{f(t+h)-f(t)}{h}\|>n \forall t \in [0,1]\} \end{eqnarray}$ Weiter im Beweis steht, $\begin{eqnarray} D:=\bigcap_{n} O_{n} \end{eqnarray}$ Jedes f aus D ist an keiner Stelle differenzierbar. Eigene Gedanken 1 In der Vorlesung allerdings wird der Beweis anders geführt. Hier hat unser Professor nur eine Beweiskizze angegeben, die ich gerade versuche auszuarbeiten. Er beginnt mit der Menge: $\begin{eqnarray} E_{n}=\{f\in C[0,1]: \exists t_{0} \in [0,1]: \sup_{0<\|h\|<1}\|\frac{f(t_{0}+h)-f(t_{0})}{h}\| \le n \} \end{eqnarray}$ Eigene Gedanken 2 $\begin{eqnarray} E_{n}=\{f\in C[0,1]: \exists t_{0} \in [0,1]: \sup_{0<\|h\|<\frac{1}{n}}\|\frac{f(t_{0}+h)-f(t_{0})}{h}\| \le n \} \end{eqnarray}$ und behauptet, dass für $\begin{eqnarray} A:=\bigcup_{n} E_{n} \end{eqnarray}$ jedes f aus A in mindestens einem Punkt Differenzierbar sei. Genau dies verstehe ich nicht. Warum soll ein Element aus einem der En in einem Punkt Differenzierbar sein und warum sind in der Menge A zwingend alle Funktionen in einem Punkt Differenzierbar? Eigene Gedanken 3 Sind dann A und D Gegenmengen, also A geschnitten D ist leer und A vereinigt D ist C[0,1] Eigene Gedanken 4 Meine Ideen: 1 DasLeuchtet ein, da hier der unendliche Schnitt genutzt wird und für n gegen unendlich das h gegen 0 im Supremum konvergiert und dieses folglich unendlich groß und somit der Limes des Differenzenquotienten nicht existieren kann (verbessert mich bitte, wenn die Überlegung falsch ist). 2 Ich bin der Meinung, das hier im Supremum h zwischen 0 und 1/n liegen muss, entweder war es ein Schreibfehler an der Tafel oder ich habe falsch abgeschrieben. Deswegen habe ich die selbst verbesserte Version noch einmal darunter geschrieben 3 Durch die unendliche Vereinigung könnten doch auch Funktionen drinne sein, bei denen das Supremum kleiner als 1 ist mit h aus [0,1], deren Grenzwert für h gegen 0 aber nicht existiert, da die Funktion bzw der Grenzwert für h gegen 0 ja auch oszilieren kann? Bei einem unendlichen Schnitt wäre es mir auf jeden Fall klar, da man so durch das Supremum indirekt zeigt, dass der Grenzwert existiert, aber durch die Vereinigung ergibt das für mich irgentwie keinen Sinn, erst recht nicht, weil nirgends ein Limes für den Differenzenqoutienten verwendet wird. 4 Dies müsste Zwangsläufig so sein, ich will nur sichergehen, dass es stimmt
02.01.2014, 14:52	Axxus	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnte man das Ausschließen des oszilieren mit der Stetigkeit der Funktion erklären, ich hab jetzt keinen passenden Satz dazu könnte es mir aber durchaus vorstellen, da die Funktion sin(1/x) ja auch mit x -> 0 osziliert, diese in 0 allerdings auch nicht stetig ist (sofern sie dort überhaupt definiert ist)
04.01.2014, 16:10	Axxus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin in den letzten Tagen noch ein Stück weitergekommen. Durch die Stetigkeit sind sowohl Zähler und Nenner 0 Folgen. Folglich gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{h\rightarrow 0}\left\|\frac{f(t_{0}+h)-f(t_{0})}{h}\right\| \rightarrow \frac{0}{0} \end{eqnarray}$ Der Grenzwert der Folge muss also entweder eindeutig sein oder +- unendlich kann also nicht oszillieren. Dies ist anschaulich recht klar, allerdings finde ich dafür nirgends einen passenden Satz. Stimmt diese Aussage?

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