Topologie: leere Menge und gesamter Raum sind jeweils offen und abgeschlossen Beweis

30.12.2013, 18:56

Duude

Topologie: leere Menge und gesamter Raum sind jeweils offen und abgeschlossen Beweis

Hallo zusammen,
ich möchte zeigen, dass die leere Menge und der gesamte Raum beide offen und abgeschlossen sind. Der Beweis müsste eigentlich recht einfach sein, trotzdem bin ich mir an einer Stelle unsicher.

Also der gesamte Raum ist offen, da ich um jeden Punkt eine offene Umgebung finde, also ist die gesamte Menge X Umgebung jedes ihrer Punkte. Damit ist auch das Komplement abgeschlossen, also ist die leere Menge abgeschlossen.

Nun fehlt mir, dass die gesamte Menge abgeschlossen ist. Dies würde ich zeigen, indem ich zeige, dass das Komplement - also die leere Menge offen ist. Aber in der leeren Menge gibt es gar keine Elemente.
Kann ich dann einfach sagen, dass die leere Menge offen ist, da sie keine Elemente enthält, also auch die leere Menge Umgebung von keinem Element sein muss, was sie ist? Das erscheint mir noch etwas seltsam.

Freue mich über Hinweise.
lg Duude

30.12.2013, 19:04

Che Netzer

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RE: Topologie: leere Menge und gesamter Raum sind jeweils offen und abgeschlossen Beweis

Zitat:

Original von Duude
ich möchte zeigen, dass die leere Menge und der gesamte Raum beide offen und abgeschlossen sind.

Welcher Raum? In welcher Situation befinden wir uns? Geht es um metrische Räume?

Die allgemeine Definition einer Topologie beinhaltet nämlich diese Aussage.

30.12.2013, 19:10

Duude

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oh, ja das hatte ich unterschlagen..

Es ist (X,d) ein metrischer Raum. Für die bezüglich d offenen Teilmengen in X gilt:
1) die leere Menge und der gesamte Raum X sind offen
2) die leere Menge und der gesamte Raum X sind abgeschlossen.

Das ist was ich zeigen möchte.

30.12.2013, 19:13

Che Netzer

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RE: Topologie: leere Menge und gesamter Raum sind jeweils offen und abgeschlossen Beweis
Dann solltest du das hier noch näher erläutern:

Zitat:

Original von Duude
Also der gesamte Raum ist offen, da ich um jeden Punkt eine offene Umgebung finde

Wieso kannst du das?

Zitat:

Kann ich dann einfach sagen, dass die leere Menge offen ist, da sie keine Elemente enthält [...]?

Bis hierhin ist es ganz gut.
Zu zeigen ist: Wenn die betrachtete Menge ein Element $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ enthält, so auch eine offene Kugel um $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

30.12.2013, 19:34

Duude

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Zitat:

Wieso kannst du das?

Der gesamte Raum ist offen, da ich um jeden Punkt eine offene Umgebung finde, denn:
Sei $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann gibt es eine Umgebung U um x mit $\begin{eqnarray*} U \subset X \end{eqnarray*}$ .
Es ist jetzt noch zu zeigen, dass U offen ist.
Fall 1: U ist offen --> fertig
Fall 2: U ist nicht offen. Es gibt aber nun in jeder Umgebung um x eine offene Umgebung U', welche x enthält. Wähle in diesem Fall als Umgebung also U' (bin mir hier nicht ganz sicher, ob ich das hier anwenden darf. Ich hatte das im Hinterkopf, kann aber auch sein, dass wir das erst später unter anderen Voraussetzungen hatten..)

zum zweiten Teil:
Die leere Menge ist offen, da sie kein Element enthält.
Angenommen, die betrachtete Menge Y enthält ein Element y. (dann ist sie aber ja nicht mehr die leere Menge...(?)) . Zeige: Dann enthält Y auch eine offene Kugel um y.

Angenommen, die betrachtete Menge Y enthält ein Element y. Es gibt also auch eine Umgebung U um y. Analog wie oben, gibt es also auch eine offene Umgebung U' um y.
noch zu zeigen: Diese Umgebung liegt auch in der Menge.
Da die Menge aber ja nur aus dem einen Element besteht, ist sie selbst ihre Umgebung.

Bin mir da aber noch unsicher, ob das so passt. Vor allem beim zweiten Teil: Da betrachte ich ja nicht mehr die leere Menge.

30.12.2013, 20:29

Che Netzer

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Wie habt ihr denn "offen" definiert? Etwa nicht über offene Kugeln?

Zitat:

Original von Duude
Angenommen, die betrachtete Menge Y enthält ein Element y.

Anzunehmen, dass die leere Menge ein Element besitzt, ist nicht sehr sinnvoll Augenzwinkern

30.12.2013, 23:35

Duude

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Zitat:

Anzunehmen, dass die leere Menge ein Element besitzt, ist nicht sehr sinnvoll Augenzwinkern

Ja, darüber hatte ich mich auch gewundert. Da habe ich dich wohl falsch verstanden..

Zitat:

Wie habt ihr denn "offen" definiert? Etwa nicht über offene Kugeln?

Eine Menge $\begin{eqnarray*} U \subset X \end{eqnarray*}$ heißt offen bezüglich der Metrik d, wenn U Umgebung jedes ihrer Punkte ist d.h. $\begin{eqnarray*} \forall_{a \in U} \exists_{\varepsilon>0}: B(a,\varepsilon)\subset U \end{eqnarray*}$ Dabei ist $\begin{eqnarray*} B(a, \varepsilon) \end{eqnarray*}$ der offene Ball um a mit dem Radius $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$

ok, damit nochmals:
$\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ ist offen $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \forall_{a \in \emptyset} \exists_{\varepsilon>0}: B(a,\varepsilon)\subset \emptyset \end{eqnarray*}$
Dies ist eine Aussage, die für alle Elemente in der leeren Menge gilt. Da die leere Menge keine Elemente hat, ist die Aussage trivialerweise erfüllt. Damit ist die leere Menge offen und die gesamte Menge X abgeschlossen

Ich habe es jetzt nochmals anders versucht:

Die gesamte Menge X ist abgeschlossen denn:
Sei $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ beliebig aber fest. Dann ist zu zeigen, $\begin{eqnarray*} \exists_{\varepsilon>0}: B(x,\varepsilon)\subset X \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun wüsste, dass es um mein x irgendeine offene Umgebung U gibt, die ganz in X liegt so wäre ich fertig. Denn es muss gelten $\begin{eqnarray*} U \subseteq X \end{eqnarray*}$ , da X die gesamte Menge ist.
Da dieses Argument für jedes beliebige x einzeln gilt, also folglich für alle, wäre ich dann fertig.

Aber woher weiß ich, dass es eine solche offene Umgebung um jedes beliebige x gibt?
Gegenannahme: Angenommen es gibt ein x, für das es keine offene Umgebung gibt, welche ganz in X liegt, dann muss entweder gelten, x liegt außerhalb von X (das ist aber unmöglich, da alle x in X liegen) oder dass x auf dem Rand liegt. Dann aber gilt für jede Umgebung von x, dass sie geschnitten mit dem Komplement von X ungleich der leeren Menge ist. Dies würde aber bedeuten, dass X nicht die gesamte Menge ist. Widerspruch.
Also ist X offen und damit die leere Menge abgeschlossen.

Anmerkung: offene Umgebungen kann man hier auch mit offenen Bällen identifizieren.
Ich glaube der Beweis wäre auch gegangen, wenn man über die Radien der offenen Bälle argumentiert und dann mit der Dreiecksungleichung zeigt, dass mit der Annahme, dass es ein x gibt, welches keine offene Umgebung hat, ein Element dieser Umgebung sich außerhalb von X befinden würde (aufgrund des zu großen Radius)

Was meinst du dazu?

30.12.2013, 23:38

Che Netzer

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Zitat:

Original von Duude
ok, damit nochmals:
$\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ ist offen $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \forall_{a \in \emptyset} \exists_{\varepsilon>0}: B(a,\varepsilon)\subset \emptyset \end{eqnarray*}$
Dies ist eine Aussage, die für alle Elemente in der leeren Menge gilt. Da die leere Menge keine Elemente hat, ist die Aussage trivialerweise erfüllt. Damit ist die leere Menge offen und die gesamte Menge X abgeschlossen

Besser.

Zitat:

Die gesamte Menge X ist abgeschlossen denn:

Ist offen.

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ beliebig aber fest. Dann ist zu zeigen, $\begin{eqnarray*} \exists_{\varepsilon>0}: B(x,\varepsilon)\subset X \end{eqnarray*}$

Und nun wähle irgendein $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ . Diese Kugel ist nach Definition immer in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ enthalten.

30.12.2013, 23:49

Duude

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Zitat:

Ist offen.

Stimmt natürlich, das hatte ich schreiben wollen.

Zitat:

Und nun wähle irgendein $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ . Diese Kugel ist nach Definition immer in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ enthalten.

ach so..
im Allgemeinen möchte ich zeigen, dass irgendein epsilon existiert, für das diese Aussage erfüllt ist. Aber da wir es hier mit dem gesamten Raum zu tun haben, ist egal welches Epsilon wir wählen, denn jede Kugel muss in X enthalten sein, da X die gesamte Menge ist. Es können ja nur Elemente von X in der Kugel enthalten sein.

Wir haben also damit ein (bzw. sogar viele) Epsilon gefunden, für das gilt $\begin{eqnarray*} B(x, \varepsilon)\subset X \end{eqnarray*}$ und damit gilt: X ist offen.

30.12.2013, 23:57

Che Netzer

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Genau.

30.12.2013, 23:59

Duude

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Alles klar. Danke für die Hilfe smile

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