Basis Schnittmenge

30.12.2013, 21:16	akamanston	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis Schnittmenge Hi, ich habe ein kleines Problem. Zu berechnen ist eine Basis zu folgendem Schnitt. ich schreibe gleich die fertige Matrix auf. x1 x2 x3 x4 1 0 1 -2 0 1 -1 1 klar ist, es gibt zwei freie Variablen. x2-x3+x4=0 --> x2=x3-x4 x1+x3-2x4=0 --> x1=2x4-x3 Aber ich glaube das einführen der Variablen ist der falsche Weg. die Vektoren sind dann nämlich im R4. Ich komme grad auf kein grünen Zweig.
31.12.2013, 13:12	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, in welchem Raum sollten sie sonst sein? $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray}$ ist schon richtig …
31.12.2013, 13:32	akamanston	Auf diesen Beitrag antworten »
eben nicht. Es wird bei der Matrix nicht deutlich, dass wir im R3 sind. Ich hätte die Gleichungen doch aufschreiben sollen. x1(1,1,1)+x2(1,2,1)=x3(0,1,0)+x4(1,0,1)
31.12.2013, 17:38	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Was soll das denn für eine Gleichung sein? Wieso stehen da Zeilenvektoren? Sollten das nicht eher Spalten sein? Dann ergibt sich doch eine andere Koeffizientenmatrix?
31.12.2013, 21:48	akamanston	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis Schnittmenge OK, jetzt ist klar, dass ich mal die gleichung ordentlich poste. Wir reden ziemlich aneinander vorbei folgende Gleichung: $\begin{eqnarray} a\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} +\ b\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \ c\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +\ d\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ LGS: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0&-1 \\ 1 & 2 & -1&0 \\ 1 & 1 & 0 &-1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1&-2 \\ 0 & 1 & -1&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ so. Ab jetzt ist klar, dass ich 2 freie Variablen einführen könnte. Und es kommt eine Lösung im R4 heraus. Das will ich aber nicht. In einem anderen Beispiel habe ich es nämlich anders gemacht. Das funktioniert hier nämlich nicht weil ich 2 freie Variable habe. In dem anderen Beispiel war es nur eine. So konnte ich dann die anderen Vektoren in Abhängigkeit von der einen Variable schreiben und die Vektoren dann addieren. Das war dann die Basis. Aber hier weiß ich nicht wie ich auf die Basis komme. Worauf ich hinaus wollte: $\begin{eqnarray} d = \lambda , c = \gamma \Rightarrow b=\gamma -\lambda ,a=2\lambda -\gamma \end{eqnarray}$ und nun wollte ich die Vektoren einfach voneinander abhängen lassen. Das hat im anderen beispiel perfekt geklappt, hier nicht. $\begin{eqnarray} \gamma \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aber irgendwie bringt mir das nichts hätte gerne das lambda oder gamma eliminiert^^
01.01.2014, 14:20	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis Schnittmenge Gut, jetzt verstehe ich, was du machen wolltest. Die Lösung des LGS ist im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray}$ , denn das LGS berechnet die Koeffizienten der 4 (!) potenziellen Basisvektoren ... Das, was da unten steht, ist deine Basis. Du kannst zwei Varaiablen frei wählen, die Dimension des Unterraumes ist 2. Warum? Du hast berechnet, dass die beiden linken ursprünglichen Vektoren sich passend linearkombiniert als die beiden rechten darstellen lassen - also sind diese beiden Vektoren die Basis des aufgespannten Raumes.
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01.01.2014, 14:25	akamanston	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis Schnittmenge Das war von Anfang an mein Ergebnis, nur war ich irritiert, dass es gleichzeitig die Ausgangsvektoren sind. Ich habe das Ergebnis dann geprüft, indem ich die ersten zwei Vektoren linearkombiniert habe, und da kam das gleiche heraus. Danke und frohes Neues=)

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