Kreis, Tangente und Passante |
| 31.12.2013, 13:29 | jesta030 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Kreis, Tangente und Passante Ich war kürzlich auf dem Bitterfelder Bogen und laß dort, man könne den Brocken im Harz bei gutem Wetter sehen. Leider scheitere ich bei meinem Nachrechnen kläglich, habe aber genug Interesse, um hier um Hilfe zu bitten. Die Daten: Höhe Bitterfelder Bogen (inklusive Betrachter): 139m (109,5m Bitterfelder Berg, 28m Bogen, 1,5m Betrachter) = Punkt A Höhe Spitze des Brockens: 1141,2m = Punkt B Entfernung: 115km = Strecke AB Erdkugel: Kreis E, Mittelpunk M; r = 6371km Fragestellung: Kann ein Betrachter auf dem Bitterfelder Bogen die Spitze des Brockens bei guter Sicht sehen? Mit anderen Worten: Gibt es eine Linie die durch die Punkte A und B verläuft und die zum Kreis E eine Passante darstellt? Meine Ideen: Bisherige Überlegungen: 115km/40000km = x/360° x = 1,034° (Näherungsweise, da nicht Strecke auf Kreis sondern Strecke AB) Entfernung Brocken von M: 6372,1412km Entfernung Bitterfelder Bogen von M: 6371,139km Setzt man in einem Koordinatensystem M als (0/0), so kann man A bei (0/6371,139) zeichnen. Nun lässt sich B eintragen indem man eine Strecke der Länge 6372,1412 von M in einem Winkel von 1,034° von der y-Achse zeichnet. Anschließend die Linie AB und den Erdradius 6371 um M einzeichnen und schon hat man die Lösung konstruiert. Leider habe ich bei weitem nicht genug Papier. Rechnerisch lässt sich eine Funktion für die Strecke AB finden und überprüfen, ob diese Strecke einen, keinen oder zwei gemeinsame Punkte mit dem Kreis E hat. Es sind also zwei Funktionen aufzustellen und gleichzusetzen. Gibt es hierfür Lösungen, ist die Erde im Weg des Betrachters, gibt es keine Lösungen, kann man den Brocken sehen. Die Funktion der Strecke AB ist in dieser Form: y = mx+n -> y = (delta y / delta x) * x + n Koordinaten von Punkt B: (114,9989/6373,1788) -> y = ((6373,1788-6371,139) / 114,9989) * x + 6371,139 -> y = 0,01773 * x + 6371,139 Die Funktion des Kreises kann ich nicht aufstellen, da mir Trigonometrie vollkommen entfallen ist. Hilfe? |
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| 31.12.2013, 13:47 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Kreis, Tangente und Passante Hmm, ich hätte einen anderen Ansatz anzubieten: Wenn wir den Erdradius um die 139m der BB-Höhe verlängern, brauchen wir nur noch auszurechnen, ob man vom Brocken aus (der dann 1002,2m hoch wäre) mindestens 115km weit sehen kann. Das geht sehr schnell mit dem Pythagoras und ist so ähnlich eine Standardaufgabe der 9. Klasse. Wäre interessant zu sehen, welcher Ansatz das genauere Ergebnis liefert. 
Edit: Ich habe das mehrmals durchgerechnet, zum Ergebnis möchte ich aber noch nichts sagen. Ein weiterer Ansatz wäre der Cosinussatz. Du kennst die Längen zweier Seiten, der eingeschlossene Winkel kann mit Hilfe der Kreisbogenformel mit 1,034° ermittelt werden. Hier kann ich deinen Wert bestätigen. 
So kannst du direkt die Entfernung der Spitzen bestimmen. |
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| 31.12.2013, 15:45 | jesta030 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Vielen Dank für die schnelle Antwort! Ich bin mir nicht sicher, ob die Erweiterung des Radius auf Höhe des Betrachters einfach zulässig ist. Das wäre natürlich ein eleganter Kniff um die Aufgabe zu vereinfachen, allerdings lässt sich, denke ich, eine Passante des Kreises E von A nach B vorstellen, die innerhalb eines vergrößerten Kreises liegen würde. Außerdem weiß ich nicht an welcher Stelle der Satz des Pythagoras angewandt werden soll, also welches die Seiten sind und wo der rechte Winkel ist. a = 115km, b = 1,0022km, rechter Winkel zwischen Erdboden und b? Leider ist Seite c dann gebogen (Kreisteil) und wir wissen nichts über den Eckpunkt von c und a. Ist er der Schneidepunkt einer Tangente von E oder nur einer von zwei Schneidepunkten einer Sekante von E? |
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| 31.12.2013, 16:23 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die 115 km brauche ich nur, um den Winkel alpha (s. Zeichnung) zu berechnen. Bei den weiteren Rechnungen spielt die "Strecke" keine Rolle, da sie gebogen ist, wenn auch nur minimal. Könnte sein, dass diese Biegung sogar vernachlässigbar ist angesichts der Rundungen, mit denen wir teilweise arbeiten, das mir aber erst mal egal. Bei den Zeichnungen ist der gelbe Kreisring 139m dick. Die Rechnung mit dem Pythagoras würde sich an dieser Darstellung orientieren: [attach]32497[/attach] Hier wird also die Länge der Tangente als Strecke zwischen A und B ermittelt. Den Gedanken mit dem Cosinussatz kann man so zeigen: [attach]32498[/attach] Und hier kommt bei der Berechnung ein sehr interessantes Ergebnis raus. 
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| 31.12.2013, 17:57 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
sulo, ein schönes fest und ein alternativer weg - auch über den cosinussatz - bei so viel genauigkeit
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| 31.12.2013, 18:07 | jesta030 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
AAAAhhhhhh! Also ich gehe schon die ganze Zeit davon aus, das 115km die Entfernung vom Auge des Betrachters zur Spitze des Brocken sind, also eine Grade, und nicht der Kreisteil vom Fuß des Bitterfelder Bogens zum Fuß des Brocken.
Die Biegung ist sowieso vernachlässigbar, da sie sich bei diesen Größenordnungen lediglich in wenigen Metern niederschlägt. so ist in meiner beschriebenen Konstruktion die Strecke AB 115km lang, die Entfernung des Punktes B von der y-Achse, auf der der Punkt A liegt jedoch nur 114,9989km. also 1,1m kürzer... Pythagoras: Und was sagt uns das? Die Grade, die die Erde am Bitterfelder Bogen in Richtung Brocken in 139m Entfernung passiert, hat in 115km Entfernung einen Punkt, der 6372,1792km vom Erdmittelpunkt entfernt ist. Die spitze des Brockens ist jedoch nur 6372,1412km vom Erdmittelpunkt entfernt. Damit wäre der Brocken nicht hoch genug, um über dem Horizont sichtbar zu sein. Und hier ist das Problem des angewendeten "Kniffes" mit dem Radius: das oben gezeigte heißt noch lange nicht, dass es nicht eine Grade von A nach B gibt, die zwar innerhalb des erweiterten Radius liegt, aber außerhalb des "originalen". In diesem Bild ist ein Ausschnitt des Kreises E sowie des Kreises E' (erweiterter Radius) und die Punkte A und B dargestellt. Hier gibt es eine Grade, die A und B verbindet und für E eine Passante, für E' jedoch eine Sekante darstellt. |
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| 31.12.2013, 18:31 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, ich denke du hast Recht mit deinem Einwand. Das würde auch die Diskrepanz zur Rechung mit dem Cosinussatz und auch zu riwes* Rechnung erklären. Wenn der große Radius die Erdoberfläche wäre, so wie bei der Aufgabe, an die ich zunächst dachte, dann müsste man in deinem Beispiel durch die Erde sehen. Es ist aber ganz anders und man kann sehr wohl durch den gelben Kreisring schauen. Der Pythagoras ist also nicht der richtige Ansatz. Hast du es mal mit dem Cosinussatz versucht? Das Ergebnis dort ist nett.
*@Werner Dir auch einen guten Rutsch.
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| 31.12.2013, 20:38 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
danke schön und man sieht ihn doch, wenn´s denn stimmt. auch der cosiunssatz sagt das mit hoffentlich wird das neue jahr besser das wünsche ich auch allen hier anwesenden
edit: und bei mir mit weniger fehlern behaftet auch die gerade durch A und B sagt: ich bin eine passante |
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| 31.12.2013, 20:52 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
rein theoretisch könnte man auch eine Gerade durch AB legen in der Ebene die durch A,B und M festgelegt ist. Der Abstand zu M = ( Erdmittelpunkt ) entscheidet dann über die Sichtbarkeit. |
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| 31.12.2013, 20:55 | jesta030 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich glaub ich habs. Die Frage lässt sich auch so stellen: Gegeben ist ein Dreieck mit den Eckpunkten ABM, dessen Seiten AB, BM und MA sowie der Winkel zwischen BM und MA bekannt sind. Des Weiteren ein Kreis E mit dem bekannten Radius r, dessen Mittwlpunkt M dem Eckpunkt M des Dreiecks ABM gleich ist. Frage: schneidet der Kreis E die Seite AB des Dreiecks ABM? Hierzu errechne ich den Abstand der Seite AB des Dreiecks von M, also die Höhe auf der Seite AB. ist sie > r, ist die Seite AB eine Passante von E. ist sie = r, ist AB eine Tangente von E. ist sie < r, ist AB eine Sekante von E. Ich benötige einen weiteren Winkel, den ich mit dem Kosinussatz erhalte: -> Die Strecke AB ist eine Passante des Kreises E, der Punkt der höchsten Annäherung liegt zwischen A und B. ABER:
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| 31.12.2013, 21:20 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
sulo hat doch schon des öfteren auf den COSINUSSATZ verwiesen. ist hilft auch der beste sonnenschein nix
und umgekehrt |
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| 31.12.2013, 21:22 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
und es gibt noch nach Einstein den Effekt der Lichtkrümmung durch das Gravitationsfeld der Erde
nee, es ist ja nur rein mathematisch gemeint. Es gibt also keine Ungenauigkeiten in den vorgegebenen Angaben. Die volle Genauigkeit eines Taschenrechners müsste aber hinreichend genau sein. Andererseits : es gibt Effekte wo der TR nicht mehr ausreicht. Dann muss man eine Approximation wählen. Diese ist dann besser wie das Original. |
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| 31.12.2013, 21:37 | jesta030 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, aber das ist alles sooo lange her und sieht erst einmal kompliziert aus. Außerdem mußte ich jetzt den taschenrechner meiner freundin holen, da mein computer nicht den arccos machen wollte.
Hä?
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| 01.01.2014, 02:24 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich wünsche alle am Thread Beteiligten ein frohes und gutes neues Jahr. [attach]32508[/attach] @jesta030 Wozu einen TR, wenn man das Inet hat?
Guckst du hier: http://arndt-bruenner.de/mathe/scripts/dreiecksrechner.htm
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| 01.01.2014, 09:04 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
oder genau umgekehrt, wie ich oben korrigiert habe, ich hatte schon zu viel gefeiert 
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| 01.01.2014, 14:08 | jesta030 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nachträglich noch meinen Dank an die Beteiligten und eine kleine Anmerkung. Die Höhe des Bitterfelder Bogens und des Brockens bezieht sich in der Rechnung auf Normal Null, also den Meeresspiegel. Der Scheitelpunkt der Erdkrümmung zwischen ihnen liegt jedoch nicht bei NN, sondern vermutlich so wie das ganze umgebende Land bei 90m über NN. Damit ist der Betrachter nicht 139m hoch, sondern nur 49m. Deshalb halte ich es aufgrund des knappen Ergebnisses für fragwürdig, ob man wirklich den Brocken vom Bitterfelder Bogen aus sehen kann. Vielleicht bei günstigen meteorologischen Verhältnissen aufgrund von Brechung in der Luft. Überprüfen kann ich es allerdings nicht, da Bitterfeld zu weit weg ist von mir.
Vielleicht kommt da ja mal wer bei gutem Wetter mit ner Kamera vorbei...Frohes Neues allerseits! |
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| 01.01.2014, 15:16 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
dazu brauche ich keine kamera, man sieht ihn immer noch
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