Grenzwert einer Summe mit Binomialkoeffizient

31.12.2013, 17:23

Kopfhörer

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Grenzwert einer Summe mit Binomialkoeffizient

Meine Frage:
Hallo,

ich soll den Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} = \sum\limits_{k=1}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\ \left(\frac{2}{n}\right)^{n} \end{eqnarray*}$ bestimmen.
Es wär nett wen ihr mir allgemeine Tipps geben könnt, wie ich ich mit Binomalkoeffizienten in Summen umgehe, wenn nach dem Grenzwert gefragt ist.

Meine Ideen:
Ich habe in anderen Beiträgen gelesen, dass ich den Binomialkoeffizienten umschreiben soll in $\begin{eqnarray*} \left(\frac{n!}{k!(n-k)!}\right) \end{eqnarray*}$ . Leider komme ich dann nicht mehr weiter..

31.12.2013, 17:46

weisbrot

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RE: Grenzwert einer Summe mit Binomialkoeffizient
benutze den binomischen lehrsatz!
lg

31.12.2013, 17:46

Kasen75

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Hallo,

du könntest $\begin{eqnarray*} \left(\frac{2}{n}\right)^{n} \end{eqnarray*}$ vor die Summe ziehen, da dieser Ausdruck nicht von k abhängt.
Für den verbleibenden Summenausdruck kannst du den binomischen Lehrsatz verwenden um ihn zu vereinfachen.

Den Binomialkoeffizienten umzuschreiben ist nicht notwendig.

Grüße.

Edit: Verabschiede mich mit guten Wünschen. Wink

Wink

31.12.2013, 18:34

Kopfhörer

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Danke für die schnellen Antworten

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} * 2^{n} * \left(\frac{1}{n}\right) ^{n} \end{eqnarray*}$ bekomme ich nach Umformung. Kann ich jetzt sofort den binomischen Lehrsatz verwenden?

31.12.2013, 18:54

Kasen75

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Bin nochmal kurz da.

Du hast das Summenzeichen nicht hingeschrieben.
Deine Umformung ist zwar richtig, aber nicht wirklich zielführend.
Erst wenn du meiner vorherigen Empfehlung gefolgt bist, kannst du den bin. Lehrsatz verwenden.
Auf $\begin{eqnarray*} \left(\frac{2}{n}\right)^{n} \end{eqnarray*}$ wird der bin. Lehrsatz nicht angewandt, sondern auf den Rest.

31.12.2013, 19:06

Kopfhörer

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Ich forme also um nach $\begin{eqnarray*} a_{n} = \left(\frac{2}{n} \right)^{n}\sum\limits_{k=1}^n \begin{pmatrix} k \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich glaube ich habe den binomischen Lehrsatz nicht ganz verstanden, denn ich weiß nicht was mir der Schritt geholfen hat.
Danke für die Mühe und Gedult smile

smile

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31.12.2013, 19:17

Kasen75

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Vergleich doch mal:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=\sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}-1 \end{eqnarray*}$

und die eine Seite der Gleichung des Binomischen Lehrsatzes:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot a^k \cdot b^{n-k} \end{eqnarray*}$

Es fangen jetzt beide Summen bei i=0 an. Welche Werte haben die Koeffizienten a und b bei deinem Ausdruck.

Die -1 wird erst einmal nicht berücksichtigt.

31.12.2013, 19:33

Kopfhörer

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a = b = 1 ?

31.12.2013, 19:36

Kasen75

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Perfekt.

smile

Wie sieht es dann aus, wenn du die "andere Seite" des bin. Lehrsatzes einsetzt.

31.12.2013, 19:41

Kopfhörer

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(a+b)^n = (1 + 1)^n = 2^n

31.12.2013, 19:49

Kopfhörer

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es soll aber e^2 -1 rauskommen aber bei mir würde unendlich rauskommen.

31.12.2013, 19:53

Kasen75

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Jo.

Insgesamt steht dann da:

$\begin{eqnarray*} (2^n-1) \cdot \left(\frac{2}{n} \right)^{n} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann dem Zähler und dem Nenner jeweils einen eigenen Exponenten n verpassen und somit kann man die Klammer des Bruches weglassen.
Danach kann man die den 1. Faktor zum Zähler des 2. Faktors (Bruch) dazu nehmen und ausmultiplizieren.

31.12.2013, 20:05

Kopfhörer

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sooo dann hab ich da $\begin{eqnarray*} \frac{{{4}^{n}}-2^{n}}{{n}^{n} } \end{eqnarray*}$ stehen. jetzt fehlt mir nur noch der letzte Schritt wie ich auf e^2 -1 komme

31.12.2013, 20:53

Kasen75

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Zitat:

Original von Kopfhörer
jetzt fehlt mir nur noch der letzte Schritt wie ich auf $\begin{eqnarray*} e^2 -1 \end{eqnarray*}$ komme

Das Frage ich mich auch. Ich komme auf etwas anderes.

Edit:
Du kannst den Bruch mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{{n}^{n} } \end{eqnarray*}$ erweitern.

01.01.2014, 09:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kopfhörer
es soll aber e^2 -1 rauskommen

Was wohl dran liegt, dass in der eigentlichen Aufgabenstellung die andere Folge

$\begin{eqnarray*} a_n = \sum\limits_{k=1}^n \binom{n}{k} \left( \frac{2}{n} \right)^{{\color{red}k}} \end{eqnarray*}$

stand. Forum Kloppe

Forum Kloppe

01.01.2014, 15:15

Kopfhörer

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HAL 900 hat recht! Ich wahr wohl zu übereifrig und habe mich zu sehr auf das neue Jahr gefreut..in diesem Sinne frohes neues Jahr! Ich hoffe ich seid mir nicht allzu böse und helft mir trotzdem weiter

01.01.2014, 15:25

Kopfhörer

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Ich bin auf die Lösung gekommen! Ich habe a = 1 und b= 2/n. Daraus folgt (1+ 2/n)^n -1 . Für n gegen unendlich erhalte ich e^2 -1. Vielen Dank für die Hilfe ihr habt mir sehr geholfen smile

smile

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