Einfacher Grenzwert

01.01.2014, 08:39

Xiangkun

Einfacher Grenzwert

Guten Morgen,

dass der Grenzwert der folgenden Reihe existiert konnte ich mit dem Vergleichskriterium zeigen. Nun moechte ich noch den Grenzwert berechnen.
Ich weiss, dass dies vermutlich eine sehr banale Frage ist, aber was soll ich tun, ich komme einfach nicht drauf.
$\begin{eqnarray*} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{4}{k+4} \end{eqnarray*}$

ich versuche die geometrische Reihe zu verwenden.
$\begin{eqnarray*} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{4}{k+4} = 4 \cdot \frac{1}{k+4} = 4 \cdot \frac{1}{k(1+\frac{4}{k})} = 4 \cdot ( \frac{1}{k} \cdot \frac{1}{(1+\frac{4}{k})})= 4 \cdot ( \frac{1}{k} \cdot \frac{1}{(1+4\cdot \frac{1}{k})}) ...? \end{eqnarray*}$

Nur bringt mir das Ganze jetzt nichts.

Kann mir bitte jemand einen Tipp geben, wie man dieses Problem loest?

Vielen Dank dafuer schon jetzt!
Xiangkun

01.01.2014, 09:14

Huggy

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RE: Einfacher Grenzwert

Zitat:

Original von Xiangkun
dass der Grenzwert der folgenden Reihe existiert konnte ich mit dem Vergleichskriterium zeigen.

Dann hast du einen Fehler gemacht. Die Reihe divergiert.

Den Faktor 4 im Zähler kannst du vor die Summe ziehen. Schreib dir dann mal die ersten Summanden der verbleibenden Reihe explizit hin. Dann wirst du sehen, dass da eine sehr bekannte divergente Reihe steht, der nur die ersten Summanden fehlen. Das ändert nichts an der Divergenz.

Der Summationsindex muss übrigens k heißen und nicht n.

01.01.2014, 10:07

Xiangkun

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RE: Einfacher Grenzwert
Hallo Huggy,

vielen Dank fuer deine Antwort! Wie konnte ich das nicht sehen! (ich habe wohl an der falschen "Seite" gedacht) Hammer

Denn eigentlich versuche ich folgende Formel zu verstehen.

$\begin{eqnarray*} (1)\frac{4}{x-2} &= -4 \sum\limits_{k=0}^{\infty} (x-1)^{k} \end{eqnarray*}$

Hier duerfte doch der Ansatz sein, $\begin{eqnarray*} \frac{4}{x-2} \approx 4 \frac{1}{1-x} = 4 \sum\limits_{k=0}^{\infty} x^{k} \end{eqnarray*}$

Kann mir bitte jemand einen Tipp geben, wie man auf die Formel (1) kommt.

Vielen Dank schon jetzt
Xiangkun

01.01.2014, 11:28

Huggy

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RE: Einfacher Grenzwert
Am einfachsten geht das von rechts nach links. Auf der rechten Seite steht doch schon eine geometrische Reihe mit dem Multiplikationsfaktor $\begin{eqnarray*} q = x-1 \end{eqnarray*}$ . Wende darauf einfach die Formel für die geometrische Reihe an.

01.01.2014, 16:29

Xiangkun

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RE: Einfacher Grenzwert
Hallo Huggy,

vielen Dank nochmals fuer diese Antwort. Das ist ja wirklich simpel.
ich war mir nicht sicher ob ich (x-1) substituieren kann, aber es spricht ja wirklich nichts dagegen.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty}(x-1)^{k} = \sum\limits_{k=0}^{\infty}(q)^{k} \end{eqnarray*}$

Danke und Gruss
Xiangkun

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