Basis einer Matrix bestimmen

01.01.2014, 14:09

Shiby

Basis einer Matrix bestimmen

Es sei $\begin{eqnarray*} f : \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ die lineare Abbildung, die durch die Matrix

$\begin{eqnarray*} A:=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bezüglich der Standardbasis dargestellt wird. Finden Sie Basen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ , bezüglich der die Matrix der Abbildung f die Form

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hat.

Hallo Leute,
ich weiß leider nur bedingt wie ich bei der Aufgabe vorgehen soll. Eigentlich ist hier doch nach den Basen des Bildes gefragt oder? Ich muss das in Zeilenstufenform bringen und dann kann ich die Basen ablesen, aber so bekomme ich nur die Basen des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$

01.01.2014, 14:21

Captain Kirk

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Hallo,

Matrizen haben keine Basis. Nur Vektorräume haben eine Basis.

Die Stichworte zur Aufgabe sind darstellende Matrix und Basiswechsel.
de.wikipedia.org/wiki/Basiswechsel_%28Vektorraum%29

01.01.2014, 20:29

Shiby

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Könntest du mir vlielleicht mal das Vorgehen erläutern mir will das noch nicht ganz einleuchten.

02.01.2014, 18:07

Elvis

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Das scheint hier nicht so recht voranzugehen. Darf ich ein bißchen mithelfen ?

Ganz sicher kennst du die Standardbasen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ . Wenn du ordentlich aufschreibst, wie die Bilder $\begin{eqnarray*} f(e_i), i=1,2,3 \end{eqnarray*}$ der Basisvektoren des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ aussehen, bist du einen großen Schritt weiter.
Danach kannst du sehr leicht Vektoren finden, die von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \begin {pmatrix} 0 \\ 0 \end {pmatrix}, \begin {pmatrix} 0 \\ 1 \end {pmatrix}, \begin {pmatrix} 1 \\ 0 \end {pmatrix} \end{eqnarray*}$ abgebildet werden, und damit bist du fast fertig.

02.01.2014, 19:35

Shiby

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Danke für deine Antwort Elvis die bringt mich weiter.

Wenn ich das richtig weiß sind die Bilder der Basisvektoren des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ Das Matrixprodukt der Matrix A und den Einheitsvektoren

$\begin{eqnarray*} f(e_1) = \begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&4\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(e_2) = \begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&4\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\3 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(e_3) = \begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&4\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\4 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Danach kannst du sehr leicht Vektoren finden, die von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \begin {pmatrix} 0 \\ 0 \end {pmatrix}, \begin {pmatrix} 0 \\ 1 \end {pmatrix}, \begin {pmatrix} 1 \\ 0 \end {pmatrix} \end{eqnarray*}$ abgebildet werden, und damit bist du fast fertig.

Hierfür habe ich heruasgefunden

$\begin{eqnarray*} f(\alpha \begin{pmatrix}-1 \\-1\\1 \\ \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}0 \\0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(\alpha \begin{pmatrix}-1 \\-1\\1 \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2 \\1\\0 \\ \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}0 \\1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(\alpha \begin{pmatrix}-1 \\-1\\1 \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3 \\-1\\0 \\ \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}1 \\0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

02.01.2014, 20:05

Elvis

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Nahe dran, aber noch nicht ganz fertig. Das alpha kannst du weglassen, und dann musst du nur noch bedenken, dass in der Matrix die Bilder der Basisvektoren stehen. Also hast du eine Basis gefunden !

02.01.2014, 20:33

Shiby

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Ich versteh nur so halb was du von mir willst. Ich mach mal das was ich für richtig halte.

Meine Basen des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ sind doch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 \\1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2 \\3 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-1 \\-1 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-3 \\0 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2 \\-2 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich glaube dich hat gestört das ich beim $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}3\\4 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit drinhatte

03.01.2014, 10:24

Elvis

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Das habe ich mir fast gedacht, dass du richtig gerechnet, aber noch nicht genug verstanden hast. Also noch ein paar Tipps: Nimm $\begin{eqnarray*} \alpha=1 \end{eqnarray*}$ für den ersten Vektor und $\begin{eqnarray*} \alpha=0 \end{eqnarray*}$ für die beiden anderen. Überlege dir, warum diese 3 Vektoren eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ sind. Die Bilder dieser Vektoren kennst du bereits. Berechne sie zur Kontrolle zusätzlich als f(x)=Ax. Dann weißt du, dass diese Basisvektoren auf den Nullvektor und die Standardbasis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ abgebildet werden. Die Matrix ist die Darstellungsmatrix bezüglich dieser Basen, und in ihren Spalten stehen die Bilder dieser Basisvektoren des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ bezüglich dieser (Standard-)Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ . In der Matrix stehen natürlich nicht 3 Basisvektoren des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , denn seine Dimension ist 2, er kann gar nicht 3 Basisvektoren haben.

03.01.2014, 20:59

Shiby

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Wenn ich Alpha so wähle wie du es vorschlägst, dann erhalte ich diese 3 Vektoren. Warum sie eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ bilden ist mir klar. Sie Stellen ein minimales Erzeugendensystem dar, was die Definition einer Basis entspricht.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-1 \\-1\\1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-2 \\1\\0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}3 \\-1\\0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Berechnung der Bilder:

$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix}-1 \\-1\\1 \\ \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&4\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix}-2 \\1\\0 \\ \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&4\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix}3 \\-1\\0 \\ \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&4\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}3\\-1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist bei dieser Aufgabe eigentlich gefragt welche Basen des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ kann man wählen, die multipliziert mit der Matrix A StandardBasen des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ liefern

04.01.2014, 10:36

Elvis

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Die Kontrollrechnungen mit der Matrix A in den Standardbasen des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ zeigen, dass die neue Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ so auf die Standardbasis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ und den Nullvektor abgebildet werden, dass die einfachere Matrix die Darstellungsmatrix von f bezüglich dieser beiden Basen ist. Genau das war gefragt: "Finden Sie Basen ..."
Achtung: Du musst natürlich die neue Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ richtig sortieren.

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