Funktional

01.01.2014, 16:06

Heinzelmann3

Funktional

Hallo und frohes Neues,

ich komme mit Funktionalen nicht so gut zurecht. Hatte nie eine Grundvorlesung dazu, muss es aber jetzt anwenden. Ich hoffe, ihr könnt mir etwas unter die Arme greifen.

Wir betrachten das Funktional $\begin{eqnarray*} \gamma : K \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , das durch $\begin{eqnarray*} \psi(\gamma) := \int_0^1 \sqrt{q^2 + \dot q^2} \,dt \end{eqnarray*}$ definiert ist.
Dabei sei $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ der Raum aller Kurven $\begin{eqnarray*} \gamma := \{(t,q): q=q(t), q \in C^1([0,1],\mathbb{R}), q(0)=0, q(1)=1\} \end{eqnarray*}$ .

Nun soll ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \psi(\gamma) >1~~ \forall \gamma \in K \end{eqnarray*}$ .

Ich weiß leider nicht, wie ich da rangehen soll. Wir haben im Zusammenhang mit Funktionalen zurzeit auch Extremalaufgaben. In diesem Fall müsste ich zeigen, dass das Infimum 1 ist... aber wie?

Vielen Dank und viele Grüße,
HM3

01.01.2014, 17:03

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktional
$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^1 \sqrt {q^2+\dot q^2} dt > \int\limits_0^1 \sqrt {\dot q^2} dt\geq \int\limits_0^1 \dot q dt=q(1)-q(0)=1-0=1 \end{eqnarray*}$

01.01.2014, 19:32

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktional

Zitat:

Original von Heinzelmann3
In diesem Fall müsste ich zeigen, dass das Infimum 1 ist... aber wie?

Das Infimum (welches?) ist tatsächlich Eins [und wird nie angenommen], das war aber nicht zu zeigen.

Achte auch etwas mehr auf die Bezeichnungen.

02.01.2014, 11:38

Heinzelmann3

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktional
Wow, vielen Dank für die schnelle Hilfe. Da hätte ich vielleicht doch mal ein Minütchen länger selbst nachdenken sollen...

Könntest du mir noch kurz verraten, woher man weiß, dass die erste Abschätzung strikt ist?
Vielleicht, weil aus $\begin{eqnarray*} q(0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q(1) = 1 \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} q \not\equiv 0 \end{eqnarray*}$ ist?

Gruß
HM3

02.01.2014, 12:32

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktional
Das folgt aus $\begin{eqnarray*} q(1)=1 \end{eqnarray*}$ und der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ . Wegen der Stetigkeit gilt $\begin{eqnarray*} q>0 \end{eqnarray*}$ in einer ganzen linksseitigen Umgebung von $\begin{eqnarray*} t = 1 \end{eqnarray*}$ . Diese Umgebung liefert einen positiven Beitrag zum Integral.

Man sollte sich mit diesem Ergebnis nicht zufriedengeben, auch wenn nach Aufgabenstellung nur das zu beweisen ist. Man lernt aus vielen Aufgaben mehr, wenn man über die Aufgabenstellung hinausgeht. Man könnte zusätzlich beweisen, dass es keine schärfere Grenze für das Funktional gibt. Daraus folgt dann, dass die Aufgabe als Extremwertproblem betrachtet keine Lösung hat (siehe Che Netzer). Letzteres kann man auch direkt aus der Euler-Lagrange-Gleichung schließen.

Neue Frage »

Antworten »

Funktional

Verwandte Themen