Matrix-Exponentialfunktion

01.01.2014, 20:59

sabi1

Matrix-Exponentialfunktion

Meine Frage:
sei A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a &b \\c& -a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} I_2 \end{eqnarray*}$ . Man zeige:
$\begin{eqnarray*} e^{tA} = cosh(t\sqrt{-detA})I_2+ sinh(t\sqrt{-detA})/(t\sqrt{detA}) \text{ für } A<0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Bei meinen Recherchen bin ich in meinem alten LinaSkript bei der Minkowskischen Ebene gelandet mit $\begin{eqnarray*} A^TGA=G=\begin{pmatrix} 1 &0\\0& -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Dann wäre $\begin{eqnarray*} a=\sinh(\psi ) und. b=c=\cosh (\psi )) \end{eqnarray*}$ . Ich kann A in eine diagonalisierbare und eine niopotente Matrix zerlegen und die Rechengesetze für exp anwenden, aber ich habe keine Idee, wie ich das zeigen könnte. Hat bitte jemand einen Ansatz für mich?

Edit Equester: Latex korrigiert

01.01.2014, 21:39

Che Netzer

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RE: Matrix-Exponentialfunktion

Zitat:

Original von sabi1
$\begin{eqnarray*} e^{tA} = cosh(t\sqrt{-detA})I_2+ sinh(t\sqrt{-detA})/(t\sqrt{detA}) \text{ für } A<0 \end{eqnarray*}$

Das ergibt keinen Sinn. Du addierst eine Matrix und einen Skalar (wobei letzterer anscheinend nicht mit der Einheitsmatrix multipliziert zu verstehen ist). Und $\begin{eqnarray*} \sqrt{\det A} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{-\det A} \end{eqnarray*}$ können nicht gleichzeitig existieren (und ungleich Null sein). Was soll außerdem $\begin{eqnarray*} A<0 \end{eqnarray*}$ heißen?

03.01.2014, 11:56

sabi1

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RE: Matrix-Exponentialfunktion
Sorry, das war Murks. Habe leider den Kampf gegen Latex verloren. Das ist jetzt die richtige Aufgabe: $\begin{eqnarray*} e^{tA}=cosh(t\sqrt{-detA})I_2+ \frac{sinh(t\sqrt{-detA})}{\sqrt{-detA}}A<br /> \end{eqnarray*}$ für det A<0

Ich habe nun a=cosh (t), b=sinh(t) und c=-sinh(t) gesetzt. Dann ist det A=-1.
Wenn man das nun in obige Gleichung einsetzt erhält man als Ergebnis eine Matrix.
Dann habe ich für meine Matrix A $\begin{eqnarray*} T und T^{-1} \end{eqnarray*}$ berechnet mit Eigenwerten: $\begin{eqnarray*} \lambda_1=1 ; \lambda_2 =-1 \end{eqnarray*}$ , den Eigenvektoren $\begin{eqnarray*} v_1=(-(cosh(t)-1),1); v_2=(-(cosh(t)+1);1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{tJ}=\begin{pmatrix} e^{t} &0 \\0 & e^{-t} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Das Ergebnis für $\begin{eqnarray*} e^{tA}=Te^{tJ}T^{-1} \end{eqnarray*}$ ist leider nicht das was in der ersten Gleichung raus kommt. Ich vermute mein Ansatz war falsch. Wie könnte ich also allgemein zeigen, dass obige Gleichung gilt? Wenn mein Ansatz aber richtig war, würde ich das nochmal nachrechnen. Kann ja sein, dass ich was falsch gemacht habe.
Vielen Dank schoneinmal für Eure Hilfe!

03.01.2014, 12:04

Che Netzer

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Die Matrix in Diagonal- bzw. Jordan-Normalform zu bringen, ist sicher keine gute Idee. Arbeite lieber mit der Definition der Matrix-Exponentialfunktion über die Potenzreihe. Was ist denn $\begin{eqnarray*} A^2 \end{eqnarray*}$ ? [im allgemeinen Fall, nicht in irgendeinem Spezialfall]

03.01.2014, 17:47

sabi1

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Meinst Du so?: $\begin{eqnarray*} A^{2v} =\begin{pmatrix} (a^{2}+bc))^{2v} & 0 \\ 0 & (a^{2}+bc))^{2v} \end{pmatrix} ; n\in \mathbb N \Rightarrow e^{tA^{2} }=E+\sum\limits_{v=1}^\infty \frac{t^{v} }{v!} A^{2v} =\begin{pmatrix} 1+\sum\limits_{v=1}^\infty \frac{t^{2v} }{2v!}(a^{2}+bc))^{2v} & 0 \\ 0 & 1+\sum\limits_{v=1}^\infty \frac{t^{2v} }{2v!}(a^{2}+bc))^{2v} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ das sieht ja nach der Summe für den cosh(ta^2+bc)aus oder? und jetzt dasselbe für die ungeraden?
mit der Formel erhalte ich für $\begin{eqnarray*} det A=-a^2-bc, mit b;c>0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cosh(t\sqrt{a^2+bc} +a(\frac{sinh(t\sqrt{a^2+bc}}{\sqrt{a^2+bc}}) & a(\frac{sinh(t\sqrt{a^2+bc}}{\sqrt{a^2+bc} }) \\ c(\frac{sinh(t\sqrt{a^2+bc}}{\sqrt{a^2+bc} }) & cosh(t\sqrt{a^2+bc} -a(\frac{sinh(t\sqrt{a^2+bc}}{\sqrt{a^2+bc}}) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Könnte es jetzt sein, dass wenn man jetzt die Summenformeln für sinh(t) und cosh(t) einsetzt, man auf das gewünschte Ergebnis kommt? Allerdings hätte ich das dann ja erstmal nur für gerade Potenzen gezeigt.... Brauche bitte noch etwas mehr Schützenhilfe.
Ganz großes Dankeschön dafür!!!

03.01.2014, 18:42

Che Netzer

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Zitat:

Original von sabi1
mit der Formel erhalte ich für $\begin{eqnarray*} det A=-a^2-bc, mit b;c>0 \end{eqnarray*}$

Inwiefern erhältst du diese Matrix? Für $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{tA} \end{eqnarray*}$ oder für $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{tA^2} \end{eqnarray*}$ ?

Was willst du überhaupt mit $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{tA^2} \end{eqnarray*}$ ?
Es ist doch
$\begin{eqnarray*} \mathrm e^{tA}=E+A+\frac12A^2+\frac1{3!}A^2\cdot A+\frac1{4!}(A^2)^2+\frac1{5!}(A^2)^2A+\frac1{6!}(A^2)^3+\dotsb\,. \end{eqnarray*}$

03.01.2014, 20:02

sabi1

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Ich muss nochmal drüber nachdenken. Die letzte Matrix ist, wenn ich mich nicht verrechnet habe, einfach die Determinante in die Anfangsgleichung eingesetzt und ausgerechnet. Wenn man für sinh(t) und cosh(t) die Darstellung durch Summen einsetzt, so habe ich mir gedacht, könnte man ja vielleicht zu einem Ergebnis kommen... . Der erste Teil ist Unsinn... .

04.01.2014, 08:20

sabi1

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Dankeschön. Ich hab mir das Leben selbst schwer gemacht. smile

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