Kern einer linearen Abbildung

01.01.2014, 21:03

linearer Gnom

Kern einer linearen Abbildung

Hellloooow, frohes neues Augenzwinkern

Sei $\begin{eqnarray*} M = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 2 & 0 & 3 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi: \mathbb R ^{3} -> \mathbb R ^{2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \phi(\vec{x} ) = M\cdot \vec{x} \end{eqnarray*}$

Berechne Kern $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$

Mit Gauß komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} x_{1} -x_{2} -2x_{3} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x_{2} +7x_{3}=0 \end{eqnarray*}$

Die Lösung ist angeblich (-3, -7, 2)
Wie mache ich jetzt hier weiter? Wenn ich nach x_1 und x_2 auflöse kommt

x_1 = x_2+2x_3
x_2 = (7/2)x_3

raus, was kompletter Mist ist unglücklich

I

Idee? smile

Gruß

01.01.2014, 21:30

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum sollte das kompletter Mist sein? Es ist nur nicht ganz zu Ende geführt, aber prinzipiell richtig (bis auf ein Vorzeichenfehler in der zweiten Gleiochung).
Du musst noch die zweite Gleichung nutzen, um das $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ aus der ersten Gleichung zu eliminieren, dann hast Du alle Lösungen.

01.01.2014, 21:35

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kern einer linearen Abbildung
Naja, ganz richtig ist das nicht...

Zitat:

Original von linearer Gnom
$\begin{eqnarray*} 2x_{2} +7x_{3}=0 \end{eqnarray*}$

Entweder betrachtest du eine andere Matrix oder hier sollte $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ stehen.

Zitat:

Die Lösung ist angeblich (-3, -7, 2)

Selbst wenn das eine Lösung wäre, wäre es nicht "die Lösung".

Zitat:

x_2 = (7/2)x_3

Hier fehlt ein Vorzeichen.

01.01.2014, 21:43

linearer Gnom

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo euch beide.

@Che Netzer, ja ok die Lösung ist r(-3, -7, 2)

Und ich hab die Originalmatrix in diese mit gauß umgeformt(erste Zeile *(-2) plus die zweite Zeile)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & 7 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann müsste (mit dem richtigen Vorzeichen):

x_1 = - (3/2)x_3

Wie soll das mit der Lösung von oben passen??

Gruß

01.01.2014, 21:52

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Wo siehst Du denn die Diskrepanz? Was ergibt denn $\begin{eqnarray*} - \frac 32 \cdot 2 \end{eqnarray*}$ ?

Edit: Was macht da plötzlich die c-Zeile? Die ist in deiner bisherigen Rechnung nirgends aufgetaucht, hat aber sicher einen Einfluß auf die Lösung.

01.01.2014, 21:58

linearer Gnom

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, hm ja wie kommen ich jetzt auf die Lösung mit r*(-3,-7-2) ? Also ja klar gibt das -3 bei dir oben, hast du die zwei einfach willkürlich genommen oder wie? Wenn ich jetzt x_1= -(3/2)x_3 in parametrisierter Vektorform schreiben sollte, würde das so aussehen:

(x_1,_x_2,x_3) = r(0,0, -(3/2))

unglücklich

Gruß

01.01.2014, 22:00

linearer Gnom

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, nee sry hab vergessen die Zeile im Editor wegzumachen.

01.01.2014, 22:04

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist jetzt alles klar?

Wenn Du $\begin{eqnarray*} x_1=-\frac32 x_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=-\frac 72 x_3 \end{eqnarray*}$ hast, entspricht das - oh Wunder- dem Vektor $\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac32 x_3\\ -\frac 72 x_3\\x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

01.01.2014, 22:11

linearer Gnom

Auf diesen Beitrag antworten »

hhm neee, wo kommt denn dann der Parameter r her?? und x_3 ist in der Lösung 2 !

Gruß

01.01.2014, 22:16

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Zieh das x_3 vor den Vektor und Du hast alle Lösungen. Wie Che oben schon richtig angemerkt hat, hat ein homogenes GLS niemals nur eine Lösung ungleich dem Nullvektor. Entweder es wird nur vom Nullvektor gelöst oder von unendlich vielen Vektoren (Denn jedes Vielfache einer Lösung ist ja auch eine Lösung).

01.01.2014, 22:21

linearer Gnom

Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich x_3 vor den Vektor ziehe bekomm ich auch nicht die Lösung:

$\begin{eqnarray*} r\begin{pmatrix} -3 \\ -7 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sondern:

$\begin{eqnarray*} x_{3} \begin{pmatrix} -3/2 \\ -7/2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

verwirrt

01.01.2014, 22:23

linearer Gnom

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ok, wenn x_3 = 2 dann stimmts, aber wieso wird hier die 2 genommen?? Oder wird die zwei einfach in den Parameter absorbiert??

Gruß

01.01.2014, 22:25

linearer Gnom

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso , ja ok die haben in der Lösung einfach die zwei dazumultipliziert damit es schöner aussieht. Naja war aber nicht so offensichtlich auf den ersten Blick.

Egal, Danke für die HIlfe an euch Freude

01.01.2014, 22:25

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Vermutlich, um im Vektor keine Brüche zu haben. Es ist aber auch völlig egal, welche Speziallösung Du als Vektor nimmst, da der Lösungsraum sowieso aus jedem Vielfachen besteht.

Neue Frage »

Antworten »

Kern einer linearen Abbildung

Verwandte Themen