Eigenvektor der Einheitsmatrix

02.01.2014, 11:14

Loca12

Eigenvektor der Einheitsmatrix

Meine Frage:
Guten Tag,

gegeben ist die Matrix

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Aufgabe ist es, die Eigenvektoren zu bestimmen.

Meine Rechnung:

$\begin{eqnarray*} A-\lambda * E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \lambda * \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 \\ 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} det \begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 \\ 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)² = 0 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt

$\begin{eqnarray*} \lambda = 1 \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} (A-\lambda E)*e = 0 \end{eqnarray*}$

Eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} *e = 0 \end{eqnarray*}$

Gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} 0*e_1+0*e_2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0*e_1+0*e_2=0 \end{eqnarray*}$

Das heißt, dass es egal ist, was $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} e_2 \end{eqnarray*}$ ist. Jeder Vektor ist somit ein Eigenvektor.

Sprich:

$\begin{eqnarray*} e1 = \begin{pmatrix} k \\ s \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e2 = t * \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e3 = t * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit k ungleich 0 und s ungleich 0 und t ungleich 0

Sprich ich habe drei Eigenvektoren raus.

Die Lösung sagt aber:

$\begin{eqnarray*} e1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was ist mein Fehler? Es ist doch jeder Vektor ein Eigenvektor der Matrix außer die triviale Lösung 0 0. Wo ist mein Fehler?

Meine Ideen:
(/)

02.01.2014, 11:20

klarsoweit

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RE: Eigenvektor der Einheitsmatrix
Du mußt feinfühlig unterscheiden zwischen "Eigenvektoren" (davon gibt es unendlich viele) und einer Basis des Eigenraums. Und diese Basis besteht eben nur aus 2 Vektoren. smile

02.01.2014, 11:24

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} e1 = \begin{pmatrix} k \\ s \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e2 = k * \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e3 = s * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe mal die Parameter bei e2 und e3 umgeschrieben (man sollte eher nicht zweimal denselben nehmen).
Damit ist das bei e1 ja nichts anderes als eine zusammenfassende Schreibweise für e2 und e3, denn

Zitat:

$\begin{eqnarray*} e1 = \begin{pmatrix} k \\ s \end{pmatrix}=k * \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}+ s * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

02.01.2014, 11:34

Loca12

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Danke euch, aber wenn wir mal den Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ betrachten, dann kann dieser ja nicht mit einem der Eigenvektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ beschrieben werden... Außer wenn man diese halt wie Bjoern1982 schreibt durch Addition zusammenschreibt. Aber wieso ist denn diese Addition erlaubt? Was ist denn dann noch alles erlaubt? Subraktion? Skalarprodukt, Kreuzprodukt? geschockt

02.01.2014, 11:47

Bjoern1982

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Zitat:

dann kann dieser ja nicht mit einem der Eigenvektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ beschrieben werden...

Der Eigenraum ist ja auch zweidimensional, also reicht ein Spannvektor nicht aus.

02.01.2014, 12:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von Loca12
Aber wieso ist denn diese Addition erlaubt? Was ist denn dann noch alles erlaubt? Subraktion? Skalarprodukt, Kreuzprodukt? geschockt

Der Eigenraum ist ein Unterraum und in diesem sind Addition und Multiplikation mit Skalaren erlaubt. Augenzwinkern

02.01.2014, 13:48

Loca12

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Danke

Also nochmal um sicher zu gehen: Die Addition/Subraktion der beiden Eigenräume und Multiplikation mit Skalaren (positiv oder negativ) ist erlaubt.

Was ist denn, wenn eine Matrix zum Beispiel folgende Eigenvektoren hätte:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}

Dann wäre die Addition ja nicht erlaubt, denn dann wär ja auch zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ein Eigenvektor. Ist es aber nicht. Muss ich dann immer dazu schreiben, dass die Addition erlaubt/nicht erlaubt ist?

02.01.2014, 13:51

klarsoweit

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Zitat:

Original von Loca12
Danke smile

Also nochmal um sicher zu gehen: Die Addition/Subraktion der beiden Eigenräume und Multiplikation mit Skalaren (positiv oder negativ) ist erlaubt.

Wieso "beide" Eigenräume? verwirrt

Es gibt hier nur einen Eigenraum, nämlich den zum Eigenwert 1. Und innerhalb eines Eigenraums sind die genannten Operationen erlaubt.

Zitat:

Original von Loca12
Dann wäre die Addition ja nicht erlaubt, denn dann wär ja auch zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ein Eigenvektor. Ist es aber nicht.

Wieso nicht? Multipliziere den Vektor mal mit der Einheitsmatrix. smile

02.01.2014, 14:03

Loca12

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In der Uni wurde das mit den Eigenräumen überhaupt nicht erklärt traurig

Mein Beispiel bezog sich auf eine andere Matrix, die ich nicht kenne, bei der ich einfach mal annehme, dass die oben genannten Vektoren Eigenvektoren sind.

02.01.2014, 14:22

klarsoweit

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Wenn du natürlich irgendwelche Matrizen mit irgendwelchen Eigenvektoren aus dem Hut zauberst, dann kann das natürlich nicht passen. unglücklich

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