Extrempunkt von Funktion

02.01.2014, 14:57

Heinzelmann3

Extrempunkt von Funktion

Hallo nochmal,

ich habe ein Funktional $\begin{eqnarray*} \gamma : K \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , das durch $\begin{eqnarray*} \psi(\gamma) := \int_1^2 \frac{1}{t} \sqrt{1 + \dot q^2} \,dt \end{eqnarray*}$ definiert ist.
Dabei sei $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ der Raum aller Kurven $\begin{eqnarray*} \gamma := \{(t,q): q=q(t), q \in C^1([1,2],\mathbb{R}), q(1)=0, q(2)=1\} \end{eqnarray*}$ .

Nun soll ich einen Extremalpunkt von $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ finden.

Soweit ich das richtig verstanden hab, muss ich nun stationäre Punkte über die Euler-Lagrange-Gleichung finden. Also mit $\begin{eqnarray*} \mathcal{L}(\dot q)=\frac{1}{t} \sqrt{1 + \dot q^2} \end{eqnarray*}$ muss gelten
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot q}=0 \end{eqnarray*}$ .
Nach Ableiten und etwas Umformen komme ich für $\begin{eqnarray*} t \neq 0 \end{eqnarray*}$ auf die Gleichung $\begin{eqnarray*} (\dot q - \ddot q t)(1+\dot q^2)+t \dot q^2=0 \end{eqnarray*}$ .

Erste Frage wäre: Ist das soweit der richtige Weg und die richtige Umsetzung?
Zweite Frage wäre. Wie geht es weiter?

Danke für Hilfe jeglicher Art!

Gruß
HM3

03.01.2014, 08:52

Huggy

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RE: Extremalpunkt von Funktional

Zitat:

Original von Heinzelmann3
Nach Ableiten und etwas Umformen komme ich für $\begin{eqnarray*} t \neq 0 \end{eqnarray*}$ auf die Gleichung $\begin{eqnarray*} (\dot q - \ddot q t)(1+\dot q^2)+t \dot q^2=0 \end{eqnarray*}$ .

Das solltst du noch mal nachrechnen. Ich komme auf ein anderes Ergebnis.
Die korrekte DGL ist dann zu lösen und die Lösung an die Randbedingungen anzupassen.

04.01.2014, 12:30

Heinzelmann3

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RE: Extremalpunkt von Funktional
Dann muss ich wohl irgendwas falsch machen, ich komme wieder auf dieses Ergebnis...

Mal ein paar Zwischenschritte:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot q}=\frac{\dot q}{t \sqrt{1+\dot q^2}} \end{eqnarray*}$ und dann (nach Quotienten- und Produktregel, ohne Zusammenfassen):

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot q}=\frac{\ddot q t \sqrt{1+\dot q^2}-\dot q (\sqrt{1+\dot q^2}+t(1+\dot q^2)^{-\frac{1}{2}}\dot q)}{t^2(1+ \dot q^2)} \end{eqnarray*}$

Mach ich beim Ableiten irgendwas falsch?

Danke für Rückmeldungen!

Gruß
HM3

04.01.2014, 13:42

Huggy

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RE: Extremalpunkt von Funktional
Ich schreibe einfach mal meine Rechnung hin:

$\begin{eqnarray*} \begin{aligned} \frac {d}{dt}\left ( \frac {\partial L}{\partial \dot q} \right ) & = \frac {\partial}{\partial \dot q} \left ( \frac {\dot q}{t \sqrt {1+ \dot q^2}} \right ) \ddot q+ \frac {\partial}{\partial t} \left ( \frac {\dot q}{t \sqrt {1+ \dot q^2}} \right ) \\ & = \frac {\sqrt {1+ \dot q^2}- \frac {\dot q^2}{\sqrt {1+ \dot q^2}}}{t(1+ \dot q^2)} \ddot q - \frac {\dot q}{t^2 \sqrt {1+ \dot q^2}} \\ & = \frac {1}{t(1+ \dot q^2)^{\frac {3}{2}}}\ddot q - \frac {\dot q}{t^2 \sqrt {1+ \dot q^2}} \end{aligned} \end{eqnarray*}$

Jetzt setze ich das Null und multiplziere mit $\begin{eqnarray*} t^2 (1+ \dot q^2)^{\frac {3}{2}} \end{eqnarray*}$ . Das ergibt:

$\begin{eqnarray*} t \ddot q -\dot q (1+ \dot q^2)=0 \end{eqnarray*}$

04.01.2014, 14:03

Heinzelmann3

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RE: Extremalpunkt von Funktional
Ich verstehe nicht, was du in der ersten Zeile gemacht hast. Wie kommst du auf die Summe und die partielle Ableitung nach t?

Danke und Gruß!

04.01.2014, 14:35

Huggy

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RE: Extremalpunkt von Funktional
Das $\begin{eqnarray*} d/dt \end{eqnarray*}$ ist die totale Ableitung nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ . Und für die gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac {d}{dt}A( \dot q, t)=\frac {\partial A}{\partial \dot q} \frac {\partial \dot q}{\partial t}+ \frac {\partial A}{\partial t}=\frac {\partial A}{\partial \dot q} \ddot q+\frac {\partial A}{\partial t} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \partial L/\partial \dot q \end{eqnarray*}$ einzusetzen. Der Teil stimmt mit dir überein.

04.01.2014, 14:46

Heinzelmann3

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RE: Extremalpunkt von Funktional
Aha, danke!

Leider bin ich mit dem Fragen immer noch nicht am Ende... unglücklich

Jetzt muss ich also die DGL
$\begin{eqnarray*} \ddot q = \frac{\dot q+\dot q^3}{t} \end{eqnarray*}$ lösen.

Ich komme da (mit einem Programm) auf
$\begin{eqnarray*} \dot q = \pm \frac{ie^{c}t}{\sqrt{e^{2c}t^2-1}} \end{eqnarray*}$ , was soweit auch stimmt.
Das hab ich dann nochmal integriert, wodurch ich auf
$\begin{eqnarray*} q(t)=\pm ie^{-c} \sqrt{e^{2c}t^2-1}+c_2 \end{eqnarray*}$ komme.
Ist ja schon eine recht "hässliche" Lösung.

Nun kann es sein, dass ich mich verrechnet habe, aber wenn ich jetzt die Randbedingungen einsetze, ist das bei mir nicht lösbar, denn da steht nach den Umformungen irgendwann $\begin{eqnarray*} e^{2c}=0 \end{eqnarray*}$ , was ja für kein $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ existiert...

Edit: Ich hab meinen Fehler gefunden. Es ist also lösbar.
Stellt sich nur noch die Frage: Ist das so richtig?

04.01.2014, 14:49

Che Netzer

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RE: Extremalpunkt von Funktional
Wenn ich $\begin{eqnarray*} \frac\dd{\dd t}\frac{\partial L}{\partial\dot q}=0 \end{eqnarray*}$ sehe, will ich doch nicht die Ableitung ausrechnen, sondern $\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial\dot q}=\mathrm{const} \end{eqnarray*}$ folgern.

So stimmen die Ableitungen jeweils:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot q}=\frac{\ddot q t \sqrt{1+\dot q^2}-\dot q (\sqrt{1+\dot q^2}+t(1+\dot q^2)^{-\frac{1}{2}}\dot q{\color{red}\ddot q})}{t^2(1+ \dot q^2)} \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{aligned} \frac {d}{dt}\left ( \frac {\partial L}{\partial \dot q} \right ) & = \frac {\partial}{\partial \dot q} \left ( \frac {\dot q}{t \sqrt {1+ \dot q^2}} \right ) \ddot q+ \frac {\partial}{\partial t} \left ( \frac {\dot q}{t \sqrt {1+ \dot q^2}} \right ) \\ & = \frac {\sqrt {1+ \dot q^2}- \frac {\dot q^2}{\sqrt {1+ \dot q^2}}}{t(1+ \dot q^2)} \ddot q - \frac {\dot q}{t^2 \sqrt {1+ \dot q^2}} \\ & ={\color{red} \frac {1}{t\sqrt{1+ \dot q^2}}\ddot q-\frac{\dot q^2\ddot q}{t(1+\dot q^2)^{\frac32}}} - \frac {\dot q}{t^2 \sqrt {1+ \dot q^2}} \end{aligned} \end{eqnarray*}$

Edit: Wer hat denn "Funktional" im Titel zu "Funktion" umgeändert? verwirrt

04.01.2014, 16:53

Huggy

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RE: Extremalpunkt von Funktional

Zitat:

Original von Heinzelmann3
Ich komme da (mit einem Programm) auf
$\begin{eqnarray*} \dot q = \pm \frac{ie^{c}t}{\sqrt{e^{2c}t^2-1}} \end{eqnarray*}$ , was soweit auch stimmt.
Das hab ich dann nochmal integriert, wodurch ich auf
$\begin{eqnarray*} q(t)=\pm ie^{-c} \sqrt{e^{2c}t^2-1}+c_2 \end{eqnarray*}$ komme.
Ist ja schon eine recht "hässliche" Lösung.

Programme schreiben die Lösung manchmal etwas seltsam auf. Das $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ kannst du als $\begin{eqnarray*} \sqrt {-1} \end{eqnarray*}$ schreiben und dann unter die Wurzel ziehen. Und $\begin{eqnarray*} e^c \end{eqnarray*}$ kann man einfach zu $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ umdefinieren. Mit einem der beiden Vorzeichen kann man das schon an die Randbedingungen anpassen. Ich bin auf folgende Lösung gekommen:

$\begin{eqnarray*} q(t)=2-\sqrt {5-t^2} \end{eqnarray*}$

Falls weitere Fragen, ich bin vermutlich erst morgen wieder im Board.

05.01.2014, 12:09

Heinzelmann3

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RE: Extremalpunkt von Funktional

Zitat:

Original von Huggy
Programme schreiben die Lösung manchmal etwas seltsam auf. Das $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ kannst du als $\begin{eqnarray*} \sqrt {-1} \end{eqnarray*}$ schreiben und dann unter die Wurzel ziehen. Und $\begin{eqnarray*} e^c \end{eqnarray*}$ kann man einfach zu $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ umdefinieren.

Danke für den Tipp!

Zitat:

Original von Huggy
Falls weitere Fragen, ich bin vermutlich erst morgen wieder im Board.

Keine weiteren Fragen smile

Vielen vielen Dank für deine Mühen und Geduld!

05.01.2014, 12:11

Che Netzer

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RE: Extremalpunkt von Funktional
Hat nun eigentlich irgendjemand

Zitat:

Original von Che Netzer
Wenn ich $\begin{eqnarray*} \frac\dd{\dd t}\frac{\partial L}{\partial\dot q}=0 \end{eqnarray*}$ sehe, will ich doch nicht die Ableitung ausrechnen, sondern $\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial\dot q}=\mathrm{const} \end{eqnarray*}$ folgern.

beachtet...?

05.01.2014, 13:17

Huggy

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RE: Extremalpunkt von Funktional
@ Che Netzer
Ob der Fragesteller das ausreichend gewürdigt hat, kann er nur selbst beantworten. Klar ist, das man sich damit die Arbeit beträchtlich erleichtert hätte. Ich war zu Anfang zu sehr darauf fixiert, die fehlerhafte Ableitung zu korrigieren. Aber solche Vereinfachungen sollte man sich nicht entgehen lassen.

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